Calcula 4^2^2^2 − 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Fija primero la dirección de evaluación, porque cambia la respuesta. Los exponentes apilados son asociativos por la derecha: $a^{b^{c}}$ significa $a^{(b^{c})}$, nunca $(a^{b})^{c}$. Leer de izquierda a derecha aquí daría $((4^{2})^{2})^{2}=4^{8}=65536$, un valor equivocado en cinco órdenes de magnitud. Así que hay que trabajar de arriba hacia abajo.

2. 2

   Colapsa la cima de la torre.

   $2^{2}=4,\qquad\text{entonces}\qquad 2^{2^{2}}=2^{4}=16$

   Por lo tanto, el exponente de la base $4$ es $16$, y la expresión se convierte en $4^{16}-1$.

3. 3

   Reescribe la base como potencia de 2 para mantener los números manejables. Como $4=2^{2}$, la regla de la potencia de una potencia multiplica los exponentes:

   $4^{16}=\left(2^{2}\right)^{16}=2^{32}=4\,294\,967\,296$

   Reconocer $2^{32}$ es el atajo: es una constante familiar, así que no hace falta ninguna multiplicación larga.

4. 4

   Resta 1. La resta se aplica a toda la potencia, no al exponente:

   $4^{16}-1=4\,294\,967\,296-1=4\,294\,967\,295$

5. 5

   Verifica de forma exacta. Los enteros de precisión arbitraria de Python dan $4^{(2^{(2^{2})})}-1=4294967295$ ✓ y $2^{32}=4294967296$ ✓. Como comprobación estructural, $2^{32}-1$ es el mayor entero sin signo de 32 bits, y se factoriza como $(2^{16}-1)(2^{16}+1)=65535\times65537$: una diferencia de cuadrados una vez más.