基本函數 f(x) = |x| 向上平移 4 單位、向右平移 2 單位。寫出平移後新函數的式子。

Step-by-step solution

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   從最基本的函數出發。 $f(x)=|x|$ 的圖形是一個頂點在原點 $(0,0)$、兩邊斜率為 $\pm 1$ 的 V 形。這一族裡的每一條絕對值圖形，都不過是同一個 V 被擺到了別的位置。

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   向右平移 2 單位。 把自變數 $x$ 換成 $x-2$：

   $f(x-2)=|x-2|$

   減號帶來的是向右的平移。有個一眼看穿的辦法：轉折點出現在括號裡為零的地方，而 $x-2=0$ 發生在 $x=2$，正好在原轉折點右邊兩單位。

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   向上平移 4 單位。 給整個式子加上 $4$：

   $|x-2|+4$

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   讀出一般規則。 結果正好符合標準的頂點式

   $f(x)=|x-h|+k\quad\text{當 } h=2,\;k=4,\quad\text{頂點 }(2,4)$

   也就是 $h$ 待在絕對值裡面、跟著減號，$k$ 待在外面、跟著加號——這一條規則就管住了所有這類題。

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   取點驗證。 基本函數上的點 $(0,0)$ 應該落到 $(2,4)$：新的式子給出 $|2-2|+4=4\;\checkmark$。基本函數上的點 $(-3,3)$ 應該落到 $(-1,7)$：式子給出 $|-1-2|+4=3+4=7\;\checkmark$。兩條邊的斜率仍是 $\pm 1$，說明平移只改變位置、從不改變形狀。