Решите систему 2(x − y) + x = 95 и (x − y) + 3(x + y) = 150 относительно x и y.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала раскрываем скобки, и только потом выбираем метод. Ни одно уравнение не записано в стандартном виде, поэтому ни сложение, ни подстановка пока неприменимы. Раскрываем скобки в первом уравнении:

   $2(x-y)+x=2x-2y+x=3x-2y,$

   значит первое уравнение — это $3x-2y=95$. Попытка исключать переменную до раскрытия скобок — обычная причина ошибок в таких системах.

2. 2

   Раскрываем скобки и упрощаем второе уравнение. Умножаем на $3$:

   $(x-y)+3(x+y)=x-y+3x+3y=4x+2y,$

   то есть второе уравнение — $4x+2y=150$. Все коэффициенты чётные, поэтому делим на $2$:

   $2x+y=75.$

   Сокращение прямо сейчас удерживает все дальнейшие вычисления в маленьких числах — это по-настоящему полезная привычка, а не косметика.

3. 3

   Выбираем подстановку, потому что один из коэффициентов равен 1. Система приняла вид

   $3x-2y=95,\qquad 2x+y=75.$

   Во втором уравнении $y$ стоит с коэффициентом $1$, поэтому выражение через $x$ не даёт дробей:

   $y=75-2x.$

4. 4

   Подставляем и находим $x$. Подставим $y=75-2x$ в $3x-2y=95$:

   $3x-2(75-2x)=95\;\Longrightarrow\;3x-150+4x=95\;\Longrightarrow\;7x=245\;\Longrightarrow\;x=35.$

   Тонкость со знаками: $-2\times(-2x)=+4x$, то есть два минуса дают сложение слагаемых с $x$, а не их взаимное уничтожение.

5. 5

   Возвращаемся к $y$ и проверяем в исходных уравнениях. Из $2x+y=75$ при $x=35$ получаем $70+y=75$, то есть $y=5$. Проверяем не по упрощённым, а по нетронутым исходным уравнениям:

   $2(35-5)+35=60+35=95 ✓,\qquad (35-5)+3(35+5)=30+120=150 ✓.$

   Именно проверка в исходных уравнениях ловит ошибку раскрытия скобок, допущенную ещё на первом шаге.