(x の 2 乗 + 4x − 12) と (x + 5) の平方根の積が 0 になる方程式を解き、その解の和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   定義域は最後ではなく最初に求める。 平方根は根号の中が非負のときにしか定義されないので、何かを解く前に：

   $x+5\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge -5$

   これを先にやることが、最後の和に無縁解が忍び込むのを防ぐ。

2. 2

   積が 0 になる条件を使う。 積が $0$ になるのはどれかの因子が $0$ のときちょうどなので、$x^2+4x-12=0$ と $\sqrt{x+5}=0$ を別々に解く。根号が $0$ になる式は解くべき方程式に見えないので、初学者は 2 つ目を忘れがちである。

3. 3

   二次の因子を解く。

   $x^2+4x-12=(x+6)(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-6 \ \text{ または } \ x=2$

   しかし $x=-6$ は定義域 $x\ge-5$ を満たさないので棄却する。生き残るのは $x=2$ だけである。

4. 4

   根号の因子を解く。

   $\sqrt{x+5}=0 \quad\Longrightarrow\quad x+5=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-5$

   この値は定義域の境界にちょうど乗っているので正当である。$x=-5$ で根号は定義され、値は $0$ になる。

5. 5

   解を集めて足す。 解集合は $\{-5,\ 2\}$ なので

   $-5+2=-3$

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   両方の解をもとの方程式で確かめる。 $x=2$ のとき：$(4+8-12)\sqrt{7}=0\cdot\sqrt7=0$。$x=-5$ のとき：$(25-20-12)\sqrt{0}=(-7)(0)=0$。どちらも $0$ になる。$x=-6$ は実数の範囲で $\sqrt{-1}$ が定義されないので、そもそも代入すらできない。