(x + 4)(x^2 - 4x + 16) - x(x + 5)(x - 5) = 264 のとき x を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   第 1 の積が立方の和だと見抜く。 $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$ という形に、$a=x$、$b=4$ が当てはまる。実際 $a^2-ab+b^2=x^2-4x+16$ である。

   $(x+4)\left(x^2-4x+16\right)=x^3+64$

   力任せに展開しても答えは出るが符号のミスを招きやすい。公式に気づけば、この後の打ち消し合いが見通せるようになる。

2. 2

   第 2 の積が平方の差だと見抜く。

   $(x+5)(x-5)=x^2-25\;\Longrightarrow\;x(x+5)(x-5)=x^3-25x$

3. 3

   両方を代入して三次の項が消えるのを見る。

   $\left(x^3+64\right)-\left(x^3-25x\right)=25x+64$

   $x^3$ の項がちょうど消えるので、三次方程式に見えたものが実は一次方程式である——これがこの問題の設計そのものである。

4. 4

   一次方程式を解く。

   $25x+64=264\;\Longrightarrow\;25x=200\;\Longrightarrow\;x=8$

5. 5

   元の式に戻して検算する。 $x=8$ のとき、第 1 の積は $12\left(64-32+16\right)=12\cdot 48=576$、第 2 の積は $8\cdot 13\cdot 3=312$ である。よって

   $576-312=264\;\checkmark$

   ここで検算を最後までやる価値はある。三次の項の打ち消し合いは、計算の取り違えを覆い隠しやすい種類の操作だからである。