(x + 1)^3 + (x - 2)^3 - 2x^2 (x - 1.5) = 3 のとき x を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの 3 乗を二項の公式で展開する。 $(x+b)^3=x^3+3bx^2+3b^2x+b^3$ を使うと

   $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$

   $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$

   となる。符号が問題になるのは 2 つ目のほうで、$3(-2)^2=12$ は正、$3(-2)=-6$ と $(-2)^3=-8$ は負である。

2. 2

   足し合わせる。

   $(x+1)^3+(x-2)^3=2x^3-3x^2+15x-7$

3. 3

   引かれる積を展開する。

   $2x^2\left(x-1.5\right)=2x^3-3x^2$

   $1.5=\tfrac32$ なので $2x^2\cdot\tfrac32=3x^2$ となる点に注意——小数表記はきれいな分数を隠すために置かれている。

4. 4

   引き算して次数が落ちるのを見る。

   $\left(2x^3-3x^2+15x-7\right)-\left(2x^3-3x^2\right)=15x-7$

   三次の項も二次の項も消える。これがこの問題の要点であり、係数 $1.5$ はまさに $x^2$ の項を消すために選ばれている。

5. 5

   解いて検算する。

   $15x-7=3\;\Longrightarrow\;15x=10\;\Longrightarrow\;x=\frac{2}{3}$

   代入して戻すと $\left(\tfrac53\right)^3+\left(-\tfrac43\right)^3-2\cdot\tfrac49\left(\tfrac23-\tfrac32\right)=\tfrac{125}{27}-\tfrac{64}{27}+\tfrac{8}{9}\cdot\tfrac{5}{6}=\tfrac{61}{27}+\tfrac{20}{27}=\tfrac{81}{27}=3\;\checkmark$