解以 2 為底 x 的對數，加上以 3 為底 x 的對數，等於 5。

Step-by-step solution

1. 1

   把兩個對數換成同一個底。 底不同的對數不能直接相加，換底公式可以解決這件事：

   $\log_2 x=\frac{\ln x}{\ln 2},\qquad \log_3 x=\frac{\ln x}{\ln 3}$

   （換成任何共同的底都可以；用自然對數可以讓記號比較簡潔。）

2. 2

   代換 $t=\ln x$，把它變成一次方程式。

   $\frac{t}{\ln 2}+\frac{t}{\ln 3}=5$

   未知數只透過 $t$ 出現，而且只有一次方——這樣寫下來之後，方程式是一次的，不是對數的。

3. 3

   提出 $t$ 並把分數合併。

   $t\left(\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}\right)=5\quad\Rightarrow\quad t\cdot\frac{\ln 3+\ln 2}{\ln 2\,\ln 3}=5\quad\Rightarrow\quad t=\frac{5\ln 2\,\ln 3}{\ln 2+\ln 3}$

   注意 $\ln 2+\ln 3=\ln 6$，所以也可以寫成 $t=\dfrac{5\ln 2\,\ln 3}{\ln 6}$。

4. 4

   算出 $t$。 取 $\ln 2=0.6931472$、$\ln 3=1.0986123$：

   $\ln 2\,\ln 3=0.7615000,\qquad \ln 6=1.7917595,\qquad t=\frac{3.8075001}{1.7917595}=2.1250062$

5. 5

   取指數還原 $x$。

   $x=e^{t}=e^{2.1250062}=8.3729497$

   因為 $x>1$ 而且兩個對數都是正的，這個結果是相容的——而且它必須大於 $2^{5/2}\approx 5.66$，因為若 $\log_3 x$ 為零，光靠 $\log_2x$ 就得達到那麼大。

6. 6

   驗算，並否決 6.06 這個值。 $\log_2 8.3729497=3.0657$、$\log_3 8.3729497=1.9343$，相加得 $5.0000$ ✓。相對地，$x=6.06$ 得到 $2.5993+1.6400=4.2393$，離 $5$ 還差將近 $0.76$，所以它不是解。