Resolver el sistema: X × 5.20 + Y × 5.75 = 8947.2 y X + Y = 1595.

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe el sistema en forma matricial.

   $\begin{pmatrix}5.20 & 5.75\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8947.2\\ 1595\end{pmatrix}$

   La regla de Cramer expresa cada incógnita como un cociente de determinantes, algo cómodo en un sistema $2\times 2$ porque cada determinante es una sola multiplicación cruzada.

2. 2

   Calcula el determinante de los coeficientes.

   $D=\begin{vmatrix}5.20 & 5.75\\ 1 & 1\end{vmatrix}=5.20(1)-5.75(1)=-0.55$

   No es nulo, así que el sistema tiene exactamente una solución. Observa que $|D|$ vuelve a ser la diferencia de precios.

3. 3

   Calcula los dos determinantes del numerador. Sustituye la columna de $X$, y después la de $Y$, por el segundo miembro:

   $D_X=\begin{vmatrix}8947.2 & 5.75\\ 1595 & 1\end{vmatrix}=8947.2-5.75(1595)=8947.2-9171.25=-224.05$

   $D_Y=\begin{vmatrix}5.20 & 8947.2\\ 1 & 1595\end{vmatrix}=5.20(1595)-8947.2=8294-8947.2=-653.2$

4. 4

   Divide para obtener las incógnitas.

   $X=\frac{D_X}{D}=\frac{-224.05}{-0.55}=\frac{4481}{11}\approx 407.36,\qquad Y=\frac{D_Y}{D}=\frac{-653.2}{-0.55}=\frac{13064}{11}\approx 1187.64$

   Ambos son decimales periódicos, así que las formas fraccionarias son las respuestas exactas.

5. 5

   Verifica en las ecuaciones originales. Suma: $\tfrac{4481+13064}{11}=\tfrac{17545}{11}=1595\;\checkmark$. Importe, libre de decimales tras un $\times 100$: $\tfrac{520\cdot 4481+575\cdot 13064}{11}=\tfrac{2330120+7511800}{11}=\tfrac{9841920}{11}=894720$, que es $8947.2\times 100\;\checkmark$.