По рецепту в 1-й день расходуют 105 миллилитров соуса, во 2-й день — 85 миллилитров. Начиная с 3-го дня расход равен среднему арифметическому расходов за два предыдущих дня. Чему равна целая часть расхода в 19-й день?

Step-by-step solution

1. 1

   Работаем с разностями, а не с самими членами. Вычитая $a_{n-1}$ из рекуррентного соотношения, получаем

   $a_n-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}-a_{n-1}=-\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{2}$

   Значит, каждая разность равна ровно $-\tfrac12$ предыдущей. Именно превращение двучленного соотношения в одночленное геометрическое и позволяет добраться до $19$-го члена, не выписывая всё подряд.

2. 2

   Выписываем разности в явном виде. Первая разность равна $a_2-a_1=-20$, поэтому

   $a_{n}-a_{n-1}=-20\left(-\frac12\right)^{n-2}$

   Чередование знака и объясняет, почему члены «прыгают» ($105,\ 85,\ 95,\ 90,\ 92.5,\dots$), а не движутся в одну сторону.

3. 3

   Суммируем геометрическую прогрессию и находим предел. Складывая все разности, начиная с $a_1$:

   $L=105+\sum_{k=0}^{\infty}(-20)\left(-\frac12\right)^{k}=105-\frac{20}{1+\frac12}=105-\frac{40}{3}=\frac{275}{3}$

   Это то же самое, что $L=\dfrac{a_1+2a_2}{3}$: взвешенное среднее, в котором более новый член учитывается дважды, потому что величина $a_{n-1}+2a_n$ не меняется при переходе по рекуррентному соотношению. И это не $2a_2-a_1$.

4. 4

   Строим формулу общего члена. Так как отклонение от $L$ на каждом шаге умножается на $-\tfrac12$,

   $a_n=L+(a_1-L)\left(-\frac12\right)^{n-1}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\left(-\frac12\right)^{n-1}$

   Проверим при $n=2$: $\tfrac{275}{3}-\tfrac{20}{3}=85$. Верно.

5. 5

   Вычисляем при $n=19$. Показатель $18$ чётный, поэтому поправка положительна:

   $a_{19}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\cdot\frac{1}{2^{18}}=\frac{3003735}{32768}\approx 91.66672$

6. 6

   Берём целую часть. Так как $91<a_{19}<92$, целая часть равна $91$. Прямой пересчёт по рекуррентному соотношению в точных дробях снова даёт $a_{19}=\tfrac{3003735}{32768}$, что подтверждает формулу общего члена.