已知 a = (−1 + √71)/2，解方程 6/a = a/x，答案保留根号形式。

Step-by-step solution

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   先给这个根式起个名字，别急着代入。 把 $a=\dfrac{-1+\sqrt{71}}{2}$ 当成一个整体符号，可以把代数运算干干净净地做一遍，最后只需要对一个表达式平方一次。这就是「一次麻烦计算」与「三次麻烦计算」的区别。

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   把比例式交叉相乘。 由 $\dfrac{6}{a}=\dfrac{a}{x}$（其中 $a,x\neq 0$）：

   $6x=a^2\ \Longrightarrow\ x=\frac{a^2}{6}$

   这正是「比例中项」关系：$a$ 是 $6$ 与 $x$ 的几何平均。

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   用 $(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$ 给根式平方。 分子分母分别平方：

   $a^2=\frac{\left(-1+\sqrt{71}\right)^2}{4}=\frac{1-2\sqrt{71}+71}{4}=\frac{72-2\sqrt{71}}{4}$

   注意 $\left(\sqrt{71}\right)^2=71$ 是精确的，正是它消掉了一个根号；而交叉项 $-2\sqrt{71}$ 会保留下来。

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   再除之前先把分数约一下。 分子提出因子 2：

   $a^2=\frac{2\left(36-\sqrt{71}\right)}{4}=\frac{36-\sqrt{71}}{2}$

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   除以 6 收尾。

   $x=\frac{a^2}{6}=\frac{36-\sqrt{71}}{2\cdot 6}=\frac{36-\sqrt{71}}{12}$

   就保持这个样子：把 $\sqrt{71}\approx 8.426$ 代进去会得到 $x\approx 2.298$，而题目要的精确性就此丢掉了。

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   数值检验。 取 $\sqrt{71}=8.42615$：$a=3.71307$，$x=2.29782$。于是 $6/a=1.61591$，$a/x=1.61591$——两边相等，验证了这个根式答案。