先在有理數範圍分解 x³ + 4x² − 5，再在實數範圍分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先找有理根。 常數項是 $-5$，最高次項係數是 $1$，所以候選值是 $\pm 1,\pm 5$。試 $x=1$：

   $1+4-5=0$

   因此 $(x-1)$ 是因式。

2. 2

   除掉 $(x-1)$。 把缺項的一次項補回來寫成 $x^3+4x^2+0x-5$ 再做除法：

   $x^3+4x^2-5=(x-1)\left(x^2+5x+5\right)$

3. 3

   檢查二次因式有沒有有理根。 它的判別式是

   $D=5^2-4(1)(5)=25-20=5$

   $5$ 是正的，但不是完全平方數，所以 $x^2+5x+5$ 在有理數範圍不可分解，卻仍然有兩個實根。這正好就是兩個答案的分界線。

4. 4

   在實數範圍分解。 兩根是 $\tfrac{-5\pm\sqrt5}{2}$，所以

   $x^2+5x+5=\left(x+\frac{5+\sqrt5}{2}\right)\left(x+\frac{5-\sqrt5}{2}\right)$

5. 5

   兩種形式都驗算。 展開 $(x-1)(x^2+5x+5)$ 得 $x^3+5x^2+5x-x^2-5x-5=x^3+4x^2-5$ $\checkmark$。至於實數形式，兩個常數的和是 $5$、積是 $\tfrac{25-5}{4}=5$，與 $x^2+5x+5$ 的係數相符 $\checkmark$。