把 3x³ + 7x² − 4 完全分解。

Step-by-step solution

1. 1

   由頭尾兩個係數列出候選。 有理根 $p/q$ 需要 $p\mid 4$ 且 $q\mid 3$：

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4,\ \pm\tfrac13,\ \pm\tfrac23,\ \pm\tfrac43$

2. 2

   先試好算的整數。 令 $f(x)=3x^3+7x^2-4$：

   $f(-1)=-3+7-4=0$

   所以 $x=-1$ 是根，$(x+1)$ 是因式。

3. 3

   用綜合除法除以 $(x+1)$。 係數 $3,\,7,\,0,\,-4$，除數取 $-1$：

   $3\quad 4\quad -4\ \ |\ \ 0$

   得到商 $3x^2+4x-4$，餘式為零。

4. 4

   用 AC 法分解這個二次式。 $ac=3\cdot(-4)=-12$，要找和為 $4$ 的一對數：就是 $6$ 與 $-2$：

   $3x^2+6x-2x-4=3x(x+2)-2(x+2)=(3x-2)(x+2)$

5. 5

   組合起來並驗算。

   $3x^3+7x^2-4=(x+1)(x+2)(3x-2)$

   展開驗算：$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$，再乘 $(x^2+3x+2)(3x-2)=3x^3-2x^2+9x^2-6x+6x-4=3x^3+7x^2-4$ $\checkmark$。三個根是 $-1$、$-2$、$\tfrac23$；順帶確認 $f\left(\tfrac23\right)=3\cdot\tfrac{8}{27}+7\cdot\tfrac49-4=\tfrac89+\tfrac{28}{9}-4=0$ $\checkmark$。