Resuelve 9^(x − 1/2) − 4/3^(1 − x) = −1 para x.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribe todo con la misma base. Como $9=3^{2}$,

   $9^{\,x-\frac12}=\left(3^{2}\right)^{x-\frac12}=3^{\,2x-1}.$

   Multiplicar los exponentes es lo que elimina el incómodo $\tfrac12$: $2\left(x-\tfrac12\right)=2x-1$ es un desplazamiento entero.

2. 2

   Sube la fracción al numerador con un exponente negativo. Como $\frac{1}{3^{\,1-x}}=3^{\,x-1}$,

   $\frac{4}{3^{\,1-x}}=4\cdot3^{\,x-1},$

   y la ecuación queda

   $3^{\,2x-1}-4\cdot3^{\,x-1}=-1.$

   Los dos exponentes se diferencian ahora por un factor dos en la parte de $x$, y esa es la señal de que una sustitución va a linealizar el problema.

3. 3

   Sustituye $t=3^{\,x-1}$. Entonces $t>0$ de forma automática, y

   $3^{\,2x-1}=3^{\,2(x-1)+1}=3\left(3^{\,x-1}\right)^{2}=3t^{2}.$

   Acertar con el factor $3$ extra es lo esencial: $2x-1$ es $2(x-1)+1$, no $2(x-1)$.

4. 4

   Resuelve la cuadrática. La ecuación queda $3t^{2}-4t=-1$, es decir

   $3t^{2}-4t+1=0\;\Longrightarrow\;(3t-1)(t-1)=0\;\Longrightarrow\;t=\tfrac13\ \text{o}\ t=1.$

   Las dos raíces son positivas, así que no hay que descartar ninguna; conviene comprobarlo, porque un $t$ negativo o cero nunca podría ser una potencia de $3$.

5. 5

   Deshaz la sustitución y verifica. De $3^{\,x-1}=\tfrac13=3^{-1}$ se obtiene $x-1=-1$, o sea $x=0$; de $3^{\,x-1}=1=3^{0}$ se obtiene $x=1$. Comprobando en la ecuación original: en $x=0$, $9^{-1/2}-\tfrac{4}{3}=\tfrac13-\tfrac43=-1$ ✓; en $x=1$, $9^{1/2}-\tfrac{4}{3^{0}}=3-4=-1$ ✓.