设 A 是 m 行 n 列矩阵，证明存在 n 行 m 列矩阵 B，使得 ABA = A。

Step-by-step solution

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   先化到标准形。 记 $r=\operatorname{rank}(A)$。任何矩阵都与它的秩标准形等价：存在可逆矩阵 $P$（$m\times m$）与 $Q$（$n\times n$），使得

   $PAQ=D:=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\ 0&0\end{pmatrix}_{m\times n}$

   $P$ 和 $Q$ 记录的正是把 $A$ 消成这个分块形式所做的行变换与列变换。

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   先把问题在 $D$ 上解决。 定义 $n\times m$ 矩阵

   $D^{-}:=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\ 0&0\end{pmatrix}_{n\times m}$

   ——同样的分块形状，只是把两个维数交换了，这正是让乘法能对上的关键。按分块乘法有 $DD^{-}=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}_{m\times m}$，于是

   $DD^{-}D=D$

   因为用这个幂等的投影矩阵去左乘 $D$，并不会动到 $D$ 唯一的非零块。

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   把结论搬回 $A$ 上。 由 $PAQ=D$ 得 $A=P^{-1}DQ^{-1}$。定义

   $B:=QD^{-}P$

   它的尺寸是 $(n\times n)(n\times m)(m\times m)=n\times m$，正是题目要求的形状。注意写的是 $B=QD^{-}P$，不是 $QDP$——那个把维数交换过的分块矩阵，才是让维数对得上的关键。

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   代入验证 $ABA=A$。 把两个表达式都代进去，成对的逆矩阵相互抵消：

   $ABA=\left(P^{-1}DQ^{-1}\right)\left(QD^{-}P\right)\left(P^{-1}DQ^{-1}\right)=P^{-1}D\,D^{-}D\,Q^{-1}=P^{-1}DQ^{-1}=A$

   这里用到了 $Q^{-1}Q=I_{n}$、$PP^{-1}=I_{m}$，以及第 2 步得到的恒等式 $DD^{-}D=D$。证毕。

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   说清楚这个命题主张了什么、又没有主张什么。 这样的 $B$ 称为 $A$ 的广义逆（或 $\{1\}$-逆）。它一般不唯一——换一组 $P,Q$ 按 $QD^{-}P$ 造出来的 $B$ 同样成立，而当 $r<\min(m,n)$ 时，那些自由的块会给出无穷多个。只有当 $A$ 是可逆方阵（$r=m=n$）时，它才与 $A^{-1}$ 重合。

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   数值验证。 Moore–Penrose 伪逆就是一个具体的这样的 $B$。对形状分别为 $4\times 3$（秩 2）、$3\times 5$（秩 3）和 $5\times 5$（秩 1）的随机矩阵，计算 $A\,A^{+}A-A$ 得到的元素大小都在 $10^{-15}$ 以下——就是机器零，与定理预言的一致。