f(x) = 2 − x²、g(x) = x² + 4x − 60 のとき、f − g の定義域は何か。答えは区間で表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   組み合わせた関数の定義域の規則を思い出す。 $f+g$、$f-g$、$fg$ のいずれについても、定義域は 2 つの定義域の共通部分である。

   $\operatorname{dom}(f-g)=\operatorname{dom}(f)\cap\operatorname{dom}(g)$

   （商 $f/g$ だけが例外で、そこからさらに $g$ の零点を除く。）

2. 2

   それぞれの定義域を別々に求める。 $f(x)=2-x^2$ は多項式である。実数どうしの掛け算と足し算しか含まず、文字による割り算も偶数乗根もない。よって

   $\operatorname{dom}(f)=(-\infty,\infty)$

   $g(x)=x^2+4x-60$ にも同じ理屈が当てはまる。

   $\operatorname{dom}(g)=(-\infty,\infty)$

3. 3

   2 つの定義域の共通部分をとる。

   $(-\infty,\infty)\cap(-\infty,\infty)=(-\infty,\infty)$

4. 4

   実際に差を作って確かめる。 $g$ のすべての項にマイナスを配りながら引く。

   $(f-g)(x)=\left(2-x^2\right)-\left(x^2+4x-60\right)=-2x^2-4x+62$

   結果はふたたび多項式なので、実数のどこにも定義されなくなる点はない。

5. 5

   答えを述べる。 $f-g$ の定義域は実数全体である。

   $(-\infty,\infty)$

   $g$ の零点、すなわち $x^2+4x-60=0$ の解 $x=6$ と $x=-10$ はここでは関係がない。それらが効いてくるのは $f/g$ の場合だけである。