Calculadora de Escore-z

Um escore-z (também chamado de escore padronizado) mede quantos desvios padrão um valor está distante da média:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

onde $x$ é o valor bruto, $\mu$ é a média populacional e $\sigma$ é o desvio padrão populacional.

Interpretação:

• $z = 0$: o valor é igual à média.
• $z = 1$: um desvio padrão acima da média.
• $z = -2$: dois desvios padrão abaixo da média.
• $|z| > 2$ é convencionalmente 'incomum'; $|z| > 3$ é 'extremo'.

Por que padronizar?

• Comparabilidade: escores-z permitem comparar valores de distribuições diferentes (ex.: um $z = 1.5$ em uma prova de matemática do SAT vs um $z = 1.5$ em uma prova verbal significam o mesmo desempenho relativo).
• Consulta de probabilidade: se a distribuição subjacente é aproximadamente normal, $z$ mapeia diretamente para uma probabilidade via a função de distribuição acumulada normal padrão $\Phi(z)$.
• Detecção de discrepantes: um $|z|$ grande sinaliza potenciais valores discrepantes.

Versão amostral: ao trabalhar com dados amostrais, substitua $\mu$ por $\bar{x}$ e $\sigma$ por $s$:

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

Passo a Passo

1. Identifique o valor $x$, a média $\mu$ (ou $\bar{x}$) e o desvio padrão $\sigma$ (ou $s$).
2. Subtraia a média: $x - \mu$.
3. Divida pelo desvio padrão: $z = (x - \mu)/\sigma$.

Inverso: Encontrar $x$ a Partir de $z$

$x = \mu + z\sigma$

Útil quando um percentil é dado e se pede o valor bruto correspondente.

Probabilidade via a Normal Padrão

Para uma variável normalmente distribuída $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, a variável padronizada $Z = (X - \mu)/\sigma$ segue a normal padrão $N(0, 1)$.

Probabilidades comuns:

Simetria: $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$.

Regra Empírica (68-95-99,7)

Para uma distribuição normal:

• ~68% dos valores caem dentro de $\pm 1\sigma$ da média.
• ~95% dentro de $\pm 2\sigma$.
• ~99,7% dentro de $\pm 3\sigma$.

Esta é a base para intervalos de confiança e muitas estimativas rápidas.

Valores-z Críticos para Intervalos de Confiança

Estes são os valores $z^*$ tais que $P(-z^* < Z < z^*) =$ nível de confiança.

• Ordem errada: $z = (x - \mu)/\sigma$, não $(\mu - x)/\sigma$. Colocar a média em segundo lugar inverte o sinal.
• Usar a variância em vez do desvio padrão: divida por $\sigma$, não por $\sigma^2$. Um valor 'a uma variância de distância' não faz sentido — você quer um desvio padrão.
• Amostra vs população: com dados amostrais, use $\bar{x}$ e $s$. Com parâmetros conhecidos, use $\mu$ e $\sigma$. Confundi-los infla/deflaciona os escores-z.
• Supor normalidade sem verificar: escores-z podem ser calculados para qualquer distribuição, mas a consulta de probabilidade $\Phi(z)$ só se aplica se a distribuição subjacente for normal (ou aproximadamente, pelo TLC).
• Esquecer o sinal: $z = -2$ significa 'abaixo da média'. Reportar $z = 2$ representa incorretamente a direção.
• Confundir probabilidades unicaudal e bicaudal: $P(|Z| > 2)$ é ambas as caudas combinadas ($\approx 0.0456$). $P(Z > 2)$ é uma cauda ($\approx 0.0228$). Leia a pergunta com cuidado.