Integração por partes: um guia prático com exemplos

A integração por partes é a regra do produto rodada de trás para frente e é a técnica de integração mais usada depois da substituição. A fórmula é curta, mas escolher qual parte é "u" e qual é "dv" vira uma arte na primeira vez que você a vê. Este guia percorre o atalho LIATE e cinco exemplos cada vez mais difíceis, para que você termine com um método confiável em vez de tentativa e erro.

A fórmula

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Troca-se uma integral por outra que (com sorte) é mais fácil. A arte está em escolher $u$ e $dv$ — escolhas ruins tornam a nova integral mais difícil.

LIATE: uma regra prática confiável

Ao escolher $u$, prefira as funções que aparecem antes nesta lista:

Logarítmica > Inversa trigonométrica > Algébrica > Trigonométrica > Exponencial

O que sobrar vira $dv$. LIATE não é um teorema, mas funciona para cerca de 90% dos problemas de livro-texto.

Exemplo 1: $\int x e^x \, dx$ (algébrica × exponencial)

LIATE → algébrica antes da exponencial, então $u = x$, $dv = e^x \, dx$.

• $du = dx$, $v = e^x$.
• Aplique: $\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$.

Exemplo 2: $\int x \ln x \, dx$ (algébrica × logarítmica)

LIATE → logaritmo primeiro: $u = \ln x$, $dv = x \, dx$.

• $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$.
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
• Simplifique: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.

Exemplo 3: $\int x^2 \sin x \, dx$ (algébrica × trigonométrica — aplicar duas vezes)

$u = x^2$, $dv = \sin x \, dx$. Então $du = 2x \, dx$, $v = -\cos x$.

• Primeira passagem: $\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$.
• Segunda passagem sobre $\int 2x \cos x \, dx$: seja $u = 2x$, $dv = \cos x \, dx$. Então $du = 2 \, dx$, $v = \sin x$.
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$.
• Combine: $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$.

Quando você vê um polinômio de grau $n$ multiplicado por $\sin/\cos/\exp$, espere aplicar a regra $n$ vezes.

Exemplo 4: $\int e^x \cos x \, dx$ (o truque do laço)

Os dois fatores são candidatos igualmente "bons" — nenhum fica mais simples ao ser integrado ou derivado. Aplique duas vezes e observe a integral original reaparecer, depois resolva algebricamente.

• Primeira passagem: $u = \cos x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$.
• Segunda passagem sobre a nova integral: $u = \sin x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$.
• Substitua de volta: original $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ original.
• Resolva: $2 \cdot \text{original} = e^x (\cos x + \sin x)$, então original $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$.

Exemplo 5: $\int \ln x \, dx$ (o caso "sem dv evidente")

Parece que não há nada para integrar como $dv$. Truque: use $dv = dx$ (o "$1$" em $\ln x \cdot 1$).

• $u = \ln x$, $dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$.
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$.

Esse mesmo truque resolve $\int \arcsin x \, dx$, $\int \arctan x \, dx$ e similares.

Erros comuns

1. Erros de sinal. A fórmula tem um único sinal de menos — use papel de rascunho para acompanhar os $+/-$.
2. Escolher $u$ errado. Se a nova integral for mais difícil que a original, você escolheu $u$ e $dv$ ao contrário. Troque-os.
3. Esquecer o "+ C" nas integrais indefinidas.
4. Usar partes quando a substituição funcionaria. A integração por partes serve para produtos que não se encaixam num padrão de substituição u. Se for $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$, use substituição.

Tente você mesmo

Coloque qualquer integral na Calculadora de Integrais e mostraremos se substituição, partes ou frações parciais é a jogada certa — além de cada passo.

Para exemplos resolvidos específicos e tópicos relacionados:

• Exemplo resolvido: ∫ x² dx
• Exemplo resolvido: ∫ sin(x) dx
• Folha de fórmulas de cálculo
• Dominando a regra da cadeia — a prima da derivação