Guia rápido de inequações: lineares, compostas e com valor absoluto

As inequações aparecem na otimização, nas tolerâncias de engenharia e em quase todo problema de restrição do mundo real ("o orçamento não pode ultrapassar…"). A mecânica é parecida com a de resolver equações, com uma reviravolta crucial: multiplicar ou dividir por um número negativo inverte o sinal da desigualdade. Este guia reúne em uma única página todos os movimentos de que você precisa.

Inequações lineares

Trate-as exatamente como equações lineares — exceto que você inverte o sinal sempre que multiplica ou divide ambos os lados por um número negativo.

Resolva $-3x + 5 < 14$:

1. Subtraia 5: $-3x < 9$.
2. Divida por $-3$ e inverta: $x > -3$.

O conjunto solução é o intervalo aberto $(-3, \infty)$.

Inequações compostas

Uma inequação composta combina duas mais simples com e (interseção) ou ou (união).

Resolva $-1 \le 2x - 3 < 5$ (um "sanduíche" do tipo "e"):

1. Some 3 nas três partes: $2 \le 2x < 8$.
2. Divida por 2: $1 \le x < 4$.

Solução: $[1, 4)$.

Para inequações do tipo "ou" como $x < -2$ ou $x \ge 5$, a solução são dois pedaços disjuntos: $(-\infty, -2) \cup [5, \infty)$.

Inequações com valor absoluto

O truque: $|A| < k$ se reescreve como $-k < A < k$, enquanto $|A| > k$ se reescreve como $A < -k$ ou $A > k$.

Resolva $|2x - 1| \le 5$:

1. Reescreva: $-5 \le 2x - 1 \le 5$.
2. Some 1: $-4 \le 2x \le 6$.
3. Divida por 2: $-2 \le x \le 3$. Solução $[-2, 3]$.

Inequações quadráticas

Mova tudo para um lado, fatore e teste o sinal em cada intervalo.

Resolva $x^2 - x - 6 > 0$:

1. Fatore: $(x - 3)(x + 2) > 0$.
2. As raízes dividem a reta em três intervalos: $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$, $(3, \infty)$.
3. Teste um ponto de cada: em $x = -3$ o produto é positivo; em $x = 0$ é negativo; em $x = 4$ é positivo.
4. Solução: $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

Erros comuns

• Esquecer de inverter ao dividir por um número negativo — o maior erro de todos.
• Confundir colchetes abertos e fechados: $<$ usa parênteses, $\le$ usa colchetes.
• Elevar ao quadrado os dois lados de $|A| < B$ cegamente: só é válido quando ambos os lados são não negativos.

Verifique com o Solucionador de Inequações com IA

Digite qualquer inequação no Solucionador de Inequações e você verá a lista completa de passos — perfeito para conferir o dever de casa.

Referências relacionadas:

• Solucionador de Equações — a mesma álgebra, versão de igualdade
• Solucionador de Valor Absoluto — para problemas do tipo $|A| = k$
• Solucionador de Quadráticas — pareado com o caso quadrático acima