Calculadora de Valor Absoluto

O valor absoluto de um número real $x$, escrito $|x|$, é a sua distância até $0$ na reta numérica:

$|x| = \begin{cases} x & \text{se } x \geq 0 \\ -x & \text{se } x < 0 \end{cases}$

Propriedades principais:

• $|x| \geq 0$ para todo $x$, com igualdade se e somente se $x = 0$.
• $|xy| = |x||y|$ (multiplicativo).
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (desigualdade triangular).
• $|x|^2 = x^2$, então $|x| = \sqrt{x^2}$.

Interpretação geométrica: $|a - b|$ é a distância entre os números $a$ e $b$ na reta numérica. É por isso que inequações com valor absoluto se traduzem facilmente em afirmações sobre distância.

O valor absoluto se estende aos números complexos ($|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$) e aos vetores (norma euclidiana), mas aqui focamos no caso de valores reais usado na maioria das tarefas escolares.

Tipo 1: Equação com Valor Absoluto

$|f(x)| = c$ onde $c$ é uma constante.

• Se $c < 0$: sem solução (o valor absoluto nunca pode ser negativo).
• Se $c = 0$: resolva $f(x) = 0$.
• Se $c > 0$: divida em dois casos: $f(x) = c$ ou $f(x) = -c$. Resolva cada um e mantenha todas as soluções válidas.

Exemplo: $|2x - 3| = 7$ se divide em $2x - 3 = 7$ ou $2x - 3 = -7$, resultando em $x = 5$ ou $x = -2$.

Tipo 2: Inequação do tipo Menor Que

$|f(x)| < c$ (ou $\leq$) onde $c > 0$.

Equivalente a: $-c < f(x) < c$ (uma inequação composta, E).

Significado geométrico: $f(x)$ está a uma distância menor que $c$ de $0$.

Exemplo: $|2x + 1| < 7$ se torna $-7 < 2x + 1 < 7$, resultando em $-4 < x < 3$.

Se $c \leq 0$, não há solução (ou apenas $f(x) = 0$ se $c = 0$).

Tipo 3: Inequação do tipo Maior Que

$|f(x)| > c$ (ou $\geq$) onde $c \geq 0$.

Equivalente a: $f(x) < -c$ ou $f(x) > c$ (uma disjunção, OU).

Exemplo: $|3x - 6| \geq 9$ se torna $3x - 6 \leq -9$ ou $3x - 6 \geq 9$, resultando em $x \leq -1$ ou $x \geq 5$.

Se $c < 0$, todo número real satisfaz a inequação.

Caso Complicado: Valor Absoluto nos Dois Lados

$|f(x)| = |g(x)|$ se divide em $f(x) = g(x)$ ou $f(x) = -g(x)$.

Verificando Soluções

Sempre substitua de volta na equação original. Elevar ao quadrado ou dividir em casos pode introduzir soluções estranhas em alguns contextos.

• Esquecer o caso negativo: $|x| = 5$ tem duas soluções, $x = 5$ e $x = -5$. Iniciantes muitas vezes escrevem apenas a positiva.
• Usar E e OU ao contrário: $|x| < c$ usa E (entre $-c$ e $c$); $|x| > c$ usa OU (menor que $-c$ ou maior que $c$). Trocá-los gera respostas erradas.
• Esquecer que $c$ deve ser não negativo: $|f(x)| = -3$ não tem solução porque $|f(x)| \geq 0$ sempre.
• Confusão de sinais no caso negativo: $|2x - 3| = 7$ resulta em $2x - 3 = -7$, e não $-(2x) - 3 = 7$. Negue a expressão inteira igualada a $-c$.
• Não detectar soluções estranhas: depois de resolver, sempre substitua de volta na equação original. Se a estrutura do valor absoluto dependia de $f(x)$ ser não negativo, verifique isso.