역삼각함수 계산기

역삼각함수는 표준 삼각함수를 역으로 합니다. 비율이 주어지면 각을 반환합니다.

$\arcsin(x) = \theta \iff \sin(\theta) = x$
$\arccos(x) = \theta \iff \cos(\theta) = x$
$\arctan(x) = \theta \iff \tan(\theta) = x$

삼각함수는 일대일이 아니므로, 적절한 역함수를 정의하기 위해 정의역을 제한합니다.

대체 표기: $\sin^{-1}(x)$, $\cos^{-1}(x)$, $\tan^{-1}(x)$ (참고: $\sin^{-1}(x) \neq \frac{1}{\sin x}$).

핵심 관계:

• 모든 $x \in [-1, 1]$에 대해 $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$
• 모든 $x$에 대해 $\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}$

역삼각함수는 적분($\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$), 기하, 항법, 물리학에서 나타납니다.

방법 1: 알려진 값 사용

표준 값의 경우, 단위원을 역으로 사용합니다.

$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{왜냐하면 } \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

흔한 정확한 값:

방법 2: 직각삼각형 방법

$\cos(\arcsin(\frac{3}{5}))$ 같은 합성을 계산하려면:

1. $\theta = \arcsin(\frac{3}{5})$로 놓으면 $\sin\theta = \frac{3}{5}$
2. 직각삼각형을 그립니다: 대변 $= 3$, 빗변 $= 5$
3. 인접변 $= \sqrt{25 - 9} = 4$를 구합니다 (피타고라스 정리)
4. 따라서 $\cos\theta = \frac{4}{5}$

방법 3: 대수적 항등식

간단히 하는 데 유용한 항등식:

$\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$
$\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$
$\tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

방법 4: 역삼각함수의 도함수

이는 미적분에 필수적입니다.

$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$

접근법 비교

• $\sin^{-1}(x)$와 $\frac{1}{\sin x}$ 혼동: 표기 $\sin^{-1}(x)$는 코시컨트가 아니라 arcsin을 의미합니다. 혼동을 피하려면 맥락을 사용하거나 "arc" 표기를 선호하세요.
• 주값 범위 무시: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$이며 $\frac{11\pi}{6}$이 아닙니다. 답은 정의된 범위 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 안에 있어야 합니다.
• 약분을 잘못 적용: $x \in [-1,1]$에 대해 $\sin(\arcsin x) = x$이지만, $\arcsin(\sin x) = x$는 $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$일 때만입니다. 이 범위 밖에서는 적절한 부호의 기준각이 됩니다.
• 정의역 오류: $\arcsin(2)$와 $\arccos(-3)$은 정의역이 $[-1, 1]$이므로 실수에서 정의되지 않습니다.
• 피타고라스 단계에서 잘못된 부호: 직각삼각형 방법을 사용할 때, 주값 범위가 함의하는 사분면에 따라 올바른 부호를 취하세요.