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삼중적분 계산기

AI 기반 단계별 풀이로 직교, 원기둥, 구면 좌표에서 삼중적분을 계산합니다

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∑Math Input
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

삼중적분이란?

삼중적분은 단일 및 이중적분의 개념을 3차원으로 확장합니다. 입체 영역 E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3 위에 정의된 함수 f(x,y,z)f(x, y, z)에 대해:

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

는 EE 위에서 ff의 총 누적을 줍니다. 미소 부피 요소 dVdV는 직교좌표에서 dx dy dzdx\,dy\,dz가 되지만, EE의 기하에 따라 다시 쓸 수 있습니다.

자주 쓰이는 물리적 의미:

  • f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1이면 적분은 EE의 부피를 줍니다.
  • f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z)가 밀도이면 총 질량을 줍니다.
  • 모멘트, 질량 중심, 관성 모멘트는 모두 가중 밀도 함수의 삼중적분입니다.

삼중적분 계산의 핵심은 올바른 좌표계 선택과 적분 범위를 올바르게 설정하는 것입니다.

삼중적분을 설정하고 계산하는 방법

1단계: 좌표 선택

영역 기하최적 좌표부피 요소
상자 / 일반직교 (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
원기둥 대칭원기둥 (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
구면 대칭구면 (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

2단계: 범위 설정

적분 순서를 결정하기 위해 영역을 좌표평면에 사영합니다. 위쪽이 z=g2(x,y)z = g_2(x,y), 아래쪽이 z=g1(x,y)z = g_1(x,y)로 경계 지어진 제1형 입체의 경우:

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

3단계: 반복 계산

바깥 변수를 상수로 취급하면서 가장 안쪽부터 적분합니다. 그런 다음 바깥으로 진행합니다.

원기둥 좌표

치환 x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, z=zz = z를 사용합니다.

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

추가 인자 rr은 야코비안 행렬식에서 나옵니다.

구면 좌표

x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta, y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta, z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi를 사용합니다.

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

야코비안 ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi는 매우 중요합니다 — 이를 잊는 것이 가장 흔한 단일 오류입니다.

피해야 할 흔한 실수

  • 야코비안을 잊는 것: 원기둥은 인자 rr, 구면은 ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi를 받습니다. 이를 빠뜨리면 매번 틀린 답이 나옵니다.
  • 잘못된 범위 순서: 가장 안쪽 범위는 바깥 변수에 의존할 수 있지만, 가장 바깥 범위는 반드시 상수여야 합니다. 이를 뒤바꾸면 무의미한 결과가 됩니다.
  • sin⁡φ\sin\varphi의 부호 오류: 구면에서 φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi]입니다(따라서 sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0). φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi]를 사용하면 틀립니다.
  • 관례 혼용: 일부 책은 φ\varphi를 극각(z축으로부터)으로, 다른 책은 방위각으로 사용합니다. 하나의 관례로 일관성을 유지하세요.
  • 영역을 그리지 않는 것: 자명하지 않은 입체의 경우, 빠른 스케치가 불가능한 범위로부터 구해줍니다.

Examples

Step 1: 반복적분 설정: ∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: zz에 대해 적분: ∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: yy에 대해 적분: ∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: xx에 대해 적분: ∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: 구면에서: 0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1, 0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: 부피 = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: 안쪽: ∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: 중간: ∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: 바깥: ∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: 곱: 13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: 원기둥 좌표로 전환: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi, 0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: 적분 = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: 안쪽: ∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: 중간: ∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: 바깥: ∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

영역이 z축 주위로 회전 대칭이지만 특별한 방사 구조가 없을 때(원기둥, 포물면, 원판 위/아래의 원뿔) 원기둥 좌표를 사용합니다. 영역이 구, 원점에서 나온 원뿔로 경계 지어지거나 완전한 3차원 방사 대칭(공, 구각)을 가질 때 구면 좌표를 사용합니다.

야코비안은 좌표를 바꿀 때 부피 요소를 조정하는 행렬식입니다. 원기둥에서는 r, 구면에서는 ρ² sin φ와 같습니다. 이것 없이는 적분이 잘못된 부피를 측정합니다.

영역을 봅니다: 다른 변수에 의존하는 범위를 가진 변수(가장 안쪽)를 먼저 적분한 다음 바깥으로 이동합니다. 가장 바깥 변수는 상수 범위를 가져야 합니다. 한 순서가 보기 흉한 범위로 이어지면, 영역의 스케치를 사용하여 순서를 바꾸세요.

예, 피적분함수가 음수가 될 수 있으면 가능합니다. 부피 계산의 경우 피적분함수는 1이고 답은 항상 양수입니다. 부호 있는 플럭스나 알짜힘 같은 물리량의 경우 음수 값이 가능하며 의미가 있습니다.

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