테일러 급수 계산기

테일러 급수는 한 점 $a$에서 함수의 도함수로 만든 무한 다항식으로 함수를 나타냅니다.

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

$a = 0$일 때 이 급수를 매클로린 급수라고 합니다.

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

중요한 이유: 테일러 급수는 어려울 수 있는 함수($\sin x$, $e^x$, $\ln x$, $\sqrt{1 + x}$)에 대한 계산을 컴퓨터와 사람이 처리할 수 있는 다항식 계산으로 변환합니다. 수치적 방법, 점근 전개, 근사 이론의 기초입니다.

차수 $n$의 테일러 다항식은 $(x-a)^n$까지의 항을 유지하는 부분합입니다. 정확한 의미에서(값과 처음 $n$개의 도함수를 일치) $a$ 근처에서 $f$의 최선의 다항식 근사입니다.

1단계: 전개점에서 도함수 계산

$f(x)$와 전개점 $a$에 대해 $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$를 계산합니다.

2단계: 공식에 대입

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

외워야 할 자주 쓰는 매클로린 급수

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

수렴 반경

테일러 급수는 $a$ 주위의 수렴 반경 $R$ 내에서만 수렴합니다. 비판정법으로 구합니다.

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

이 반경 밖에서는 급수가 발산하며 함수를 나타내지 않습니다. 안쪽에서는 보통 콤팩트 부분집합에서 균등 수렴합니다.

알려진 급수 조작

속도를 위해 도함수를 처음부터 계산하는 대신 알려진 급수를 대입, 미분, 적분합니다.

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ ($e^x$에 $-x^2$ 대입)
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• 계승을 잊는 것: 제$n$항에는 도함수만이 아니라 $\frac{1}{n!}$이 있습니다. 이를 빠뜨리면 크게 틀린 답이 나옵니다.
• 수렴 반경 밖에서 급수 사용: $\frac{1}{1-x}$은 $|x| > 1$일 때 $\sum x^n$과 같지 않습니다 — 그곳에서 급수가 발산합니다.
• $a$에서 중심을 잡는 것을 잊는 것: $a$ 주위의 테일러 급수는 $x$가 아니라 $(x-a)$의 거듭제곱을 사용합니다.
• 차수와 항의 수 혼동: 차수 $n$의 테일러 다항식은 $n+1$개의 항을 가집니다(차수 $0$부터 $n$까지).
• 대입 부호 오류: $\sin(-x) = -\sin(x)$이므로 $\sin(-x)$의 급수는 $\sin(x)$에 비해 교대 부호가 뒤집힙니다.