편미분 계산기

편미분은 다른 변수를 고정한 채 한 변수에 대해 다변수 함수가 어떻게 변하는지를 측정합니다. $f(x, y)$에 대해:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

표기 $\partial$(둥근 d)은 편도함수를 보통의 도함수 $\frac{d}{dx}$와 구별합니다. 동등한 표기로 $f_x$, $\partial_x f$, $D_x f$가 있습니다.

기하학적 의미: $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$는 $(a,b)$에서 $x$ 방향으로 곡면 $z = f(x,y)$의 기울기입니다 — 접선은 평면 $y = b$ 안에 놓입니다.

중요한 이유: 경사하강법, 최적화, 오차 전파, 그리고 벡터 미적분의 대부분이 편미분에 기반합니다. 기울기 $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$는 가장 가파른 상승 방향을 가리킵니다.

규칙 1: 다른 변수를 상수로 취급

$\frac{\partial f}{\partial x}$를 구하려면, $y, z, \ldots$를 상수로 취급하고 $f$를 $x$의 단일변수 함수로 미분합니다.

예시: $f(x, y) = x^2 y + 3y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ ($3y$는 $x$가 없으므로 사라짐)
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$ ($x^2$이 계수 역할)

규칙 2: 연쇄 법칙과 곱의 법칙은 여전히 적용됨

$f(x, y) = \sin(xy)$에 대해:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y$

괄호 안의 $y$는 $xy$를 $x$에 대해 미분할 때 상수 계수로 취급됩니다.

고계 편미분

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

클레로 정리(혼합 편미분): $f$가 연속인 2계 편미분을 가지면 $f_{xy} = f_{yx}$입니다. 미분 순서는 중요하지 않습니다.

기울기와 방향도함수

기울기는 모든 1계 편미분의 벡터입니다.

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

방향 $\mathbf{u}$(단위벡터)로의 방향도함수는:

$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$

$\mathbf{u}$가 $\nabla f$ 방향을 가리킬 때 최대가 됩니다 — 이것이 가장 가파른 상승 방향입니다.

연쇄 법칙 (다변수)

$z = f(x, y)$이고 $x = x(t), y = y(t)$이면:

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

• 잘못된 변수로 미분: 어떤 변수가 '활성'이고 어떤 변수가 상수로 고정되는지 항상 식별하세요. 풀이에서 활성 변수에 밑줄을 긋는 것이 도움이 됩니다.
• 연쇄 법칙을 잊는 것: $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$이며 단지 $\cos(xy)$가 아닙니다.
• 표기 혼동: $f_{xy}$는 먼저 $x$에 대해, 그다음 $y$에 대해 미분함을 의미합니다(일부 책은 이를 반대로 함 — 관례를 확인하세요).
• 잘못된 기울기 방향: $\nabla f$는 운동이 아니라 가장 가파른 상승 방향을 가리킵니다. 최소화하려면 $\nabla f$의 반대로 이동하세요.
• 편미분과 전미분 혼합: $x$와 $y$가 모두 $t$에 의존할 때는 연쇄 법칙을 사용하세요 — $f$에 명시적인 $t$가 없으면 0이 되는 $\partial f/\partial t$가 아닙니다.