이상적분 계산기

이상적분은 다음 중 하나에 해당하는 정적분입니다.

1. 구간이 무한한 경우: 예: $\int_1^\infty f(x)\,dx$ 또는 $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$
2. 피적분함수가 구간 내부나 끝점에서 수직 점근선을 갖는 경우: 예: $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

두 경우 모두 표준 리만 적분은 정의되지 않지만, 극한을 사용하여 때때로 유한한 값을 부여할 수 있습니다.

극한이 존재하고 유한하면 이상적분은 수렴합니다. 극한이 무한하거나 존재하지 않으면 적분은 발산합니다.

이상적분은 확률(정규화 상수), 라플라스 및 푸리에 변환, 급수 수렴 판정에서 핵심적입니다.

유형 1: 무한 구간

무한대를 극한으로 대체합니다.

$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx$

$\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx$

양쪽 범위가 모두 무한하면, 편리한 점 $c$에서 분할합니다.

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx$

두 부분 모두 독립적으로 수렴해야 합니다 — 그렇지 않으면 전체 적분이 발산합니다.

유형 2: 유계가 아닌 피적분함수

$f$가 $[a, b]$ 내부의 $x = c$에서 유계가 아니면, 분할하고 극한을 취합니다.

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx$

특이점이 $x = a$에 있으면:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx$

$p$-판정법

$\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad p > 1\text{이면 수렴, } p \leq 1\text{이면 발산}$

$\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad p < 1\text{이면 수렴, } p \geq 1\text{이면 발산}$

임계 지수는 $p = 1$입니다. 두 경우의 수렴 규칙이 반대임에 유의하세요.

비교 판정법

구간에서 $0 \leq f(x) \leq g(x)$이면:

• $\int g$가 수렴 $\Rightarrow \int f$가 수렴
• $\int f$가 발산 $\Rightarrow \int g$가 발산

적분 자체는 어렵지만 경계가 쉬울 때 유용합니다.

• $\infty$를 수로 취급하는 것: $\infty$를 '대입'할 수 없습니다. 반드시 극한을 사용해야 합니다.
• 내부 특이점을 놓치는 것: $\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx$는 구간 내부 $0$에서 특이점을 가집니다. 안일하게 계산하면 $0$이 나오지만(틀림) — 실제로 이 적분은 발산합니다.
• '상쇄'되는 조각별 이상적분을 더하는 것: $\int_{-\infty}^\infty x\,dx$ — 양쪽 절반이 모두 발산하므로 적분은 발산합니다. '주값(principal value)'은 다른(더 약한) 개념입니다.
• 잘못된 $p$-판정 방향: $\infty$에서 $1/x^p$은 $p > 1$일 때 수렴합니다. $0$에서는 $p < 1$일 때 수렴합니다. 둘은 반대입니다 — 두 가지를 모두 외우세요.
• 적분 전에 수렴을 확인하지 않는 것: 발산하는 이상적분은 값을 갖지 않습니다. 항상 수렴을 먼저 확인하세요.