이중적분 계산기

이중적분은 2차원 영역 $D$에 대한 함수 $f(x, y)$의 누적을 계산합니다.

$\iint_D f(x,y)\,dA$

여기서 $dA$는 미소 넓이 요소입니다. 직교좌표에서는 $dA = dx\,dy$, 극좌표에서는 $dA = r\,dr\,d\theta$입니다.

자주 쓰이는 물리적 의미:

• $f(x,y) = 1$은 $D$의 넓이를 줍니다.
• $f(x,y) = h(x,y)$ (높이 함수)는 $D$ 위의 곡면 $z = h(x,y)$ 아래의 부피를 줍니다.
• $f = \rho(x,y)$ (면밀도)는 얇은 판의 질량을 줍니다.

핵심 기술은: 좌표를 선택하고, 적분 범위를 설정하고, 푸비니 정리를 사용하여 반복 단일 적분으로 계산하는 것입니다.

푸비니 정리

직사각형 $D = [a, b] \times [c, d]$에서 연속인 $f$에 대해:

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

어느 순서든 가능하므로 적분하기 더 쉬운 쪽을 선택합니다.

제1형 및 제2형 영역

제1형 ($y$가 $x$의 곡선으로 경계 지어짐):

$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

제2형 ($x$가 $y$의 곡선으로 경계 지어짐):

$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

극좌표

원형 대칭이 있는 영역에서는 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dA = r\,dr\,d\theta$를 사용합니다.

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

야코비안에서 나오는 $r$ 인자는 필수입니다 — 이를 잊는 것이 가장 흔한 오류입니다.

적분 순서를 바꿔야 할 때

안쪽 적분이 다루기 어려워지면(예: $\int e^{x^2}\,dx$는 초등 부정적분이 없음), 적분 순서를 바꾸면 문제를 풀 수 있는 경우가 많습니다. 먼저 영역을 그려서 다른 순서의 동등한 범위를 찾으세요.

• 잘못된 범위 순서: 안쪽 범위는 바깥 변수에 의존할 수 있지만, 바깥 범위는 반드시 상수여야 합니다. 뒤바뀌면 = 잘못된 답.
• 극좌표 야코비안을 잊는 것: $dr\,d\theta$가 아니라 $dA = r\,dr\,d\theta$입니다.
• 영역을 그리지 않는 것: 직사각형이 아닌 $D$의 경우, 그림을 그리면 제1형 대 제2형이 명확해집니다.
• 불가능한 안쪽 함수를 적분하려는 것: $\int e^{x^2}\,dx$나 비슷한 비초등 피적분함수를 만나면 포기하기 전에 순서를 바꾸세요.
• 음의 피적분함수에서의 부호 오류: $f$가 $D$에서 부호를 바꾸면 이중적분이 0이 될 수 있습니다 — 이는 올바른 것이며 '고쳐야 할' 실수가 아닙니다.