절댓값 계산기

실수 $x$의 절댓값 $|x|$는 수직선에서 $0$까지의 거리입니다.

$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$

주요 성질:

• 모든 $x$에 대해 $|x| \geq 0$이며, 등호는 $x = 0$일 때만 성립합니다.
• $|xy| = |x||y|$ (곱셈에 대해 성립).
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (삼각부등식).
• $|x|^2 = x^2$이므로 $|x| = \sqrt{x^2}$.

기하학적 의미: $|a - b|$는 수직선에서 두 수 $a$와 $b$ 사이의 거리입니다. 그래서 절댓값 부등식은 거리에 관한 진술로 깔끔하게 바꿀 수 있습니다.

절댓값은 복소수($|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$)와 벡터(유클리드 노름)로도 확장되지만, 여기서는 대부분의 숙제에서 사용하는 실수의 경우에 초점을 맞춥니다.

유형 1: 절댓값 방정식

$|f(x)| = c$ (여기서 $c$는 상수).

• $c < 0$인 경우: 해 없음(절댓값은 결코 음수가 될 수 없습니다).
• $c = 0$인 경우: $f(x) = 0$을 풉니다.
• $c > 0$인 경우: 두 경우로 나눕니다. $f(x) = c$ 또는 $f(x) = -c$. 각각을 풀고 유효한 해를 모두 남깁니다.

예: $|2x - 3| = 7$은 $2x - 3 = 7$ 또는 $2x - 3 = -7$로 나뉘어 $x = 5$ 또는 $x = -2$가 됩니다.

유형 2: '미만' 부등식

$|f(x)| < c$ (또는 $\leq$, $c > 0$).

다음과 동치입니다: $-c < f(x) < c$ (연립 부등식, AND).

기하학적 의미: $f(x)$는 $0$으로부터 거리 $c$ 이내에 있습니다.

예: $|2x + 1| < 7$은 $-7 < 2x + 1 < 7$이 되어 $-4 < x < 3$이 됩니다.

$c \leq 0$이면 해가 없습니다($c = 0$이면 $f(x) = 0$만).

유형 3: '초과' 부등식

$|f(x)| > c$ (또는 $\geq$, $c \geq 0$).

다음과 동치입니다: $f(x) < -c$ 또는 $f(x) > c$ (선언, OR).

예: $|3x - 6| \geq 9$는 $3x - 6 \leq -9$ 또는 $3x - 6 \geq 9$가 되어 $x \leq -1$ 또는 $x \geq 5$가 됩니다.

$c < 0$이면 모든 실수가 부등식을 만족합니다.

까다로운 경우: 양변에 절댓값

$|f(x)| = |g(x)|$는 $f(x) = g(x)$ 또는 $f(x) = -g(x)$로 나뉩니다.

해 검증

항상 원래 방정식에 대입하세요. 제곱하거나 경우를 나누면 상황에 따라 무연근이 생길 수 있습니다.

• 음의 경우를 빠뜨리는 것: $|x| = 5$는 두 개의 해, $x = 5$와 $x = -5$를 가집니다. 초보자는 양수만 쓰는 경우가 많습니다.
• AND와 OR을 반대로 사용하는 것: $|x| < c$는 AND($-c$와 $c$ 사이)를 사용하고, $|x| > c$는 OR($-c$ 미만 또는 $c$ 초과)을 사용합니다. 이를 바꾸면 틀린 답이 나옵니다.
• $c$가 음이 아니어야 함을 잊는 것: $|f(x)| = -3$은 해가 없습니다. 항상 $|f(x)| \geq 0$이기 때문입니다.
• 음의 경우에서 부호 혼동: $|2x - 3| = 7$은 $2x - 3 = -7$이며, $-(2x) - 3 = 7$이 아닙니다. $-c$와 같다고 둔 식 전체의 부호를 바꿉니다.
• 무연근을 놓치는 것: 풀이 후에는 항상 원래 방정식에 대입하세요. 절댓값 구조가 $f(x)$의 비음성에 의존했다면 이를 확인하세요.