Trigonometric Identities Survival Kit

삼각함수 항등식은 수십 개가 있지만, 실제로는 십여 개 정도만 외우면 됩니다 — 나머지는 그것들로부터 몇 초 만에 유도할 수 있습니다. 이 페이지는 생존 키트입니다 — 제 몫을 하는 모든 항등식을, 각각 짧은 예제와 함께 담았습니다.

피타고라스 삼총사

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

첫 번째 것은 모든 수학에서 가장 많이 쓰이는 항등식입니다. 나머지 두 개는 양변을 $\cos^2$ 또는 $\sin^2$로 나누어 얻습니다.

합과 차 공식

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

cos 암기법: "cos cos 마이너스 sin sin"에 반대 부호 — sin은 "sin cos 플러스 cos sin"에 같은 부호입니다.

배각 공식

합 공식에 $\alpha = \beta = \theta$를 대입합니다:

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

피타고라스 항등식 덕분에 코사인 버전에는 세 가지 형태가 있습니다. 식의 나머지 부분과 맞는 것을 고르세요.

반각 공식

코사인 배각 공식을 $\sin^2$과 $\cos^2$에 대해 풀면:

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

이것들은 차수 낮추기 항등식입니다 — $\int \sin^2 x \, dx$가 초등적으로 계산되는 것은 이 덕분입니다.

예제: 식의 간단히 하기

$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$를 간단히 합니다.

1. 분자: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.
2. 분모: $1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$.
3. 몫: $\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

복잡하기 짝이 없는 식 전체가 $\tan x$로 무너집니다.

흔한 실수

• 합 공식에서의 부호 오류 — 공식을 적어 두고, 문제 도중에 기억에 의존하지 마세요.
• $\sin^2\theta$는 $(\sin\theta)^2$를 의미하며, $\sin(\sin\theta)$가 아닙니다.
• $2\theta$는 각도이지 값의 2배가 아니라는 것을 잊는 것 — $\sin(2 \cdot 30°) = \sin 60°$이지, $2\sin 30°$가 아닙니다.

AI 삼각함수 솔버로 시도해 보기

삼각함수 솔버는 어떤 식이든 받아 이 모든 항등식을 적용해 간단히 하거나 풀어 줍니다.

관련 참고 자료:

• 간단히 하기 계산기 — 같은 간단히 하기 발상을 다항식 버전으로
• 적분 계산기 — 삼각함수 적분에서는 차수 낮추기가 필수
• 급수 계산기 — sin과 cos의 테일러 전개는 이것들을 직접 사용