관련 변화율: 반복해서 쓸 수 있는 6단계 문제 풀이 전략

관련 변화율 문제는 추상적으로 들립니다 — "사다리가 벽을 따라 미끄러진다, 윗부분은 얼마나 빨리 떨어지는가?" — 하지만 모두 같은 6단계 패턴을 따릅니다. 이 절차를 익히면 이런 문제는 무서운 것에서 기계적인 것으로 바뀝니다.

6단계 절차

문제를 두 번 읽고 모든 양을 파악합니다. 그림을 그리세요.
변하는 양에는 문자로, 상수에는 숫자로 이름을 붙입니다.
변하는 양들을 관계 짓는 방정식을 찾습니다(기하, 피타고라스, 닮은 삼각형, 넓이, 부피 등).
양변을 시간 $t$ 에 대해 음함수적으로 미분합니다. 변하는 양은 각각 $\frac{d \cdot}{dt}$ 항을 만듭니다.
미분한 후에만 스냅숏 값을 대입합니다. 너무 일찍 대입하면 변화율 정보가 사라집니다.
미지의 변화율에 대해 풀고 단위를 다시 확인합니다.

예제 1: 미끄러지는 사다리

13피트짜리 사다리가 벽에 기대어 있습니다. 그 밑부분이 바깥쪽으로 초당 2피트씩 미끄러집니다. 밑부분이 벽에서 5피트 떨어져 있을 때, 윗부분은 얼마나 빨리 아래로 미끄러지고 있나요?

변수: $x$ = 밑부분 거리, $y$ = 윗부분 높이. 둘 다 $t$ 에 따라 변합니다.
제약: $x^2 + y^2 = 169$ (피타고라스 — 사다리 길이는 일정).
미분: $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ .
스냅숏: $x = 5$ 이므로 $y = \sqrt{169 - 25} = 12$ . $\frac{dx}{dt} = 2$ 가 주어집니다.
풀이: $2(5)(2) + 2(12)\frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{20}{24} = -\frac{5}{6}$ ft/sec.

윗부분은 초당 $5/6$ 피트로 떨어집니다. 음의 부호는 높이가 줄어들고 있음을 뜻합니다 — 타당성 확인 통과.

예제 2: 물로 채워지는 원뿔

물이 원뿔(꼭짓점이 아래쪽)에 분당 $3 \text{ ft}^3$ 로 부어집니다. 원뿔은 높이 10피트, 윗부분 반지름 4피트입니다. 깊이가 6피트일 때 수위는 얼마나 빨리 올라가고 있나요?

변수: $V$ = 물의 부피, $h$ = 물의 깊이, $r$ = 수면 반지름.
원뿔의 부피: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ . 닮은 삼각형 사용: $r/h = 4/10 \Rightarrow r = 0.4h$ .
하나의 변수로 치환: $V = \frac{1}{3}\pi (0.4h)^2 h = \frac{0.16\pi}{3} h^3$ .
미분: $\frac{dV}{dt} = 0.16\pi h^2 \frac{dh}{dt}$ .
$h = 6$ , $\frac{dV}{dt} = 3$ 대입: $3 = 0.16\pi (36) \frac{dh}{dt}$ .
풀이: $\frac{dh}{dt} = \frac{3}{5.76\pi} \approx 0.166$ ft/min.

흔한 실수

숫자를 너무 일찍 대입하는 것 — 미분은 관계를 "얼립니다". 사물이 어떻게 변하는지에 대한 정보를 잃게 됩니다.
$r^2$ 같은 것을 미분할 때 연쇄 법칙을 잊는 것 — 그것은 $2r$ 가 아니라 $2r \frac{dr}{dt}$ 가 됩니다.
미분하기 전에 닮은 삼각형으로 여분의 변수를 없애지 않는 것.

AI 미분 솔버로 해 보기

미분 계산기를 사용해 관련 변화율의 미분 단계 — 특히 음함수인 것들 — 를 검증하세요.

관련 참고:

극한 계산기 — 미분은 그 밑에서 극한이다
적분 계산기 — 역도함수의 짝
삼각형 솔버 — 많은 문제의 기하적 설정에