완전제곱식은 학생들이 한 번 보고 잊어버리는 대수 조작 중 하나입니다. 하지만 이것은 근의 공식, 포물선의 꼭짓점 형태, 그리고 흔히 쓰이는 여러 미적분 적분 뒤에 있는 유일한 기법입니다. 이 요령을 체화하면 평생 쓰는 도구를 얻게 됩니다.

핵심 아이디어

제곱 이항식 $(x + h)^2$ 를 전개하면 $x^2 + 2hx + h^2$ 가 됩니다. 임의의 식 $x^2 + bx$ 를 완전제곱으로 만들려면 $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ 을 더해야 합니다. 요령은 이것이 전부입니다.

풀이 예제: 최고차항 계수가 1인 경우

$x^2 + 6x + 5$ 를 완전제곱식으로 만드세요.

일차항 계수의 절반을 취합니다: $b/2 = 3$ .
그것을 제곱합니다: $9$ .
다시 씁니다: $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$ .

9를 더하고 9를 뺐습니다 — 합하면 0이지만, 처음 세 항이 이제 완전제곱이 됩니다.

풀이 예제: 최고차항 계수가 1이 아닌 경우

$2x^2 + 12x + 7$ 를 완전제곱식으로 만드세요.

처음 두 항에서 2를 묶어 냅니다: $2(x^2 + 6x) + 7$ .
괄호 안에서 완전제곱식을 만듭니다: $x^2 + 6x + 9 - 9 = (x+3)^2 - 9$ .
다시 대입합니다: $2((x+3)^2 - 9) + 7 = 2(x+3)^2 - 18 + 7 = 2(x+3)^2 - 11$ .

응용 1: 이차방정식 풀기

$x^2 + 6x + 5 = 0$ 을 풀려면:
$(x + 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2 \Rightarrow x = -1, -5$ .

근의 공식과 같은 답을 처음부터 직접 유도한 것입니다.

응용 2: 포물선의 꼭짓점

$y = 2x^2 + 12x + 7 = 2(x + 3)^2 - 11$ 는 꼭짓점 형태 $y = a(x - h)^2 + k$ 입니다. 꼭짓점은 $(h, k) = (-3, -11)$ 에 있고, 위로 열려 있습니다( $a > 0$ 이므로). 미적분 없이 바로 읽어 낼 수 있습니다.

응용 3: 적분

$\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$ 같은 적분은 직접 공략해도 풀리지 않지만, 완전제곱식으로는 무너집니다: $x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9$ 로 만든 뒤 $u = x + 2$ 로 치환하면 역탄젠트(아크탄젠트)가 보입니다.

흔한 실수

더한 만큼 빼는 것을 잊는 것 — 식은 자기 자신과 같은 상태로 유지되어야 합니다.
최고차항 계수가 1이 아닌 경우에 최고차항 계수를 먼저 묶어 내지 않는 것.
잘못된 계수를 절반으로 하는 것 — 절반으로 하는 것은 일차항 계수 $b$ 이지 최고차항 $a$ 가 아닙니다.

AI 이차방정식 솔버로 해 보기

이차방정식 솔버는 완전제곱식 접근법을 근의 공식과 나란히 보여 줍니다.

완전제곱식: 마침내 이해되는 단계별 풀이

완전제곱식 — 근의 공식, 꼭짓점 형태, 그리고 많은 미적분 적분 뒤에 있는 기법. 최고차항 계수가 1인 경우와 그렇지 않은 경우의 단계별 예제.