Zスコア計算機

Zスコア（標準得点とも呼ばれる）は、ある値が平均から標準偏差何個分離れているかを測ります。

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

ここで $x$ は生の値、$\mu$ は母平均、$\sigma$ は母標準偏差です。

解釈：

• $z = 0$：値が平均に等しい。
• $z = 1$：平均より標準偏差1個分上。
• $z = -2$：平均より標準偏差2個分下。
• $|z| > 2$ は慣例的に「異常」、$|z| > 3$ は「極端」。

なぜ標準化するか？

• 比較可能性：Zスコアは異なる分布の値を比較できます（例：SATの数学テストで $z = 1.5$ と言語テストで $z = 1.5$ は同じ相対的成績を意味します）。
• 確率の参照：基礎となる分布が近似的に正規なら、$z$ は標準正規CDF $\Phi(z)$ を介して直接確率に対応します。
• 外れ値検出：大きな $|z|$ は潜在的な外れ値を示します。

標本版：標本データから扱うとき、$\mu$ を $\bar{x}$ に、$\sigma$ を $s$ に置き換えます。

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

ステップごと

1. 値 $x$、平均 $\mu$（または $\bar{x}$）、標準偏差 $\sigma$（または $s$）を特定する。
2. 平均を引く：$x - \mu$。
3. 標準偏差で割る：$z = (x - \mu)/\sigma$。

逆：$z$ から $x$ を求める

$x = \mu + z\sigma$

パーセンタイルが与えられて対応する生の値を求められたときに便利です。

標準正規による確率

正規分布する変数 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ について、標準化された変数 $Z = (X - \mu)/\sigma$ は標準正規 $N(0, 1)$ に従います。

よく使う確率：

対称性：$P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$。

経験則（68-95-99.7）

正規分布について：

• 値の約68%が平均の $\pm 1\sigma$ 以内に入る。
• 約95%が $\pm 2\sigma$ 以内。
• 約99.7%が $\pm 3\sigma$ 以内。

これは信頼区間や多くの素早い見積もりの基礎です。

信頼区間のための臨界Z値

これらは $P(-z^* < Z < z^*) =$ 信頼水準 となる値 $z^*$ です。

• 間違った順序：$z = (x - \mu)/\sigma$ であり、$(\mu - x)/\sigma$ ではありません。平均を2番目に置くと符号が反転します。
• 標準偏差の代わりに分散を使う：$\sigma^2$ ではなく $\sigma$ で割ります。「分散1個分離れた」値は無意味です — 標準偏差1個分が欲しいのです。
• 標本か母集団か：標本データでは $\bar{x}$ と $s$ を使います。既知のパラメータでは $\mu$ と $\sigma$ を使います。これらを混同するとZスコアが膨張・収縮します。
• 確認せずに正規性を仮定する：Zスコアは任意の分布で計算できますが、確率の参照 $\Phi(z)$ は基礎となる分布が正規（または中心極限定理により近似的に正規）のときのみ適用されます。
• 符号を忘れる：$z = -2$ は「平均より下」を意味します。$z = 2$ と報告すると向きを誤って伝えます。
• 片側確率と両側確率を混同する：$P(|Z| > 2)$ は両側を合わせたもの（$\approx 0.0456$）です。$P(Z > 2)$ は片側（$\approx 0.0228$）です。問題を注意深く読んでください。