傾き切片形計算機

2変数の一次方程式の傾き切片形は次のとおりです。

$y = mx + b$

ここで:

• $m$ は傾きで、直線がどれだけ急に上下するかを表します。傾き $= \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$。
• $b$ は y 切片で、直線が y 軸と交わる $y$ の値（点 $(0, b)$）です。

この形が特別な理由: 計算なしで、2つの幾何学的情報—傾きと y 切片—を一目で読み取れます。対照的に、標準形 $Ax + By = C$ はその両方を隠してしまいます。

傾き切片形は、直線のグラフを描く、平行・垂直の関係を比較する、説明から方程式を書くといった作業で第一に選ばれる形です。

ケース1: 標準形の方程式から

$Ax + By = C$ が与えられたら、$y$ について解きます。

$By = -Ax + C \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$

よって $m = -A/B$、$b = C/B$。

ケース2: 2点から

$(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ が与えられたら:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

次に一方の点を使って $b$ を求めます。

$b = y_1 - m x_1$

ケース3: 傾きと1点から

傾き $m$ と点 $(x_0, y_0)$ が与えられたら:

$b = y_0 - m x_0$

ケース4: グラフから

直線が y 軸と交わる箇所から y 切片を直接読み取ります。別の格子点を選び、$\text{rise} / \text{run}$ を数えて $m$ を求めます。

特別な場合

• 水平な直線 $y = c$: 傾き $m = 0$、y 切片 $b = c$。
• 垂直な直線 $x = c$: 傾きは未定義。$y = mx + b$ の形では書けません。

平行および垂直な直線

2直線 $y = m_1 x + b_1$ と $y = m_2 x + b_2$ は:

• $m_1 = m_2$ のとき平行（同じ傾き、異なる切片）
• $m_1 m_2 = -1$ のとき垂直（負の逆数の傾き）

• 傾きの符号の誤り: $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$。$y$ を $x$ と同じ順序で引きます。一方だけ逆にすると符号が反転します。
• 0で割る: $x_1 = x_2$ の場合、直線は垂直で、傾きは未定義、傾き切片形は存在しません。
• y 切片と x 切片を混同する: $b$ は y 切片です。x 切片は $y = 0$ とおいて $x$ を求めて得ます。
• $B$ で割るのを忘れる: $Ax + By = C$ を傾き切片形に変換するとき、$y$ の項だけでなくすべての項を $B$ で割らなければなりません。
• 垂直な傾きの誤り: 垂直とは $m_1 m_2 = -1$ なので $m_2 = -1/m_1$ です。符号だけ反転したり逆数にしたりするだけでは足りません。