f(x) = x√(x + 9) が偶関数か奇関数かどちらでもないかを、式・グラフ・数値の 3 通りで、f(x) と f(−x) を比べて判定せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの判定法を思い出す。 $f$ が偶関数であるとは、定義域のすべての $x$ について $f(-x) = f(x)$ が成り立つこと（$y$ 軸についての対称性）であり、奇関数であるとは $f(-x) = -f(x)$ が成り立つこと（原点についての対称性）である。どちらの等式も全体では成り立たないなら、答えは「どちらでもない」になる。実際、ほとんどの関数はどちらでもない。

2. 2

   まず定義域を調べる。 根号の中は $x + 9 \ge 0$ を満たさねばならないので、定義域は $[-9, \infty)$ である。この区間は $0$ について対称でない。$x = 20$ は定義域に入るが $x = -20$ は入らない。偶関数や奇関数では定義域が対称でなければならないので、この観察だけで、式の計算をする前に答えが決まってしまう。

3. 3

   $f(-x)$ を式で計算する。 $x$ をすべて $-x$ に置き換える：

   $f(-x) = (-x)\sqrt{-x+9} = -x\sqrt{9-x}$

   これを $f(x) = x\sqrt{x+9}$ および $-f(x) = -x\sqrt{x+9}$ と比べる。根号の中身が違う（$\sqrt{9-x}$ と $\sqrt{x+9}$）ので、$f(-x)$ はどちらとも等しくない。

4. 4

   数値で確かめる。 対称な 2 組で値を求める：

   $x$	$f(x)$
   $1$	$1\sqrt{10} \approx 3.16$
   $-1$	$-1\sqrt{8} \approx -2.83$
   $4$	$4\sqrt{13} \approx 14.42$
   $-4$	$-4\sqrt{5} \approx -8.94$

   もし $f$ が偶関数なら $f(-1) = f(1)$ でなければならないが、$-2.83 \neq 3.16$ である。もし $f$ が奇関数なら $f(-1) = -f(1) = -3.16$ でなければならないが、$f(-1) = -2.83$ である。どちらも成り立たず、$\pm 4$ の組でも同じように成り立たない。

5. 5

   グラフも同じように読む。 曲線は $(-9, 0)$ から始まり、ちょうど $x = -6$ で最小値まで下がり、右へ限りなく上がっていく。$x = -9$ より左には何もない。したがって $y$ 軸についても原点についても対称ではない。

6. 6

   結論。 3 つの判定はすべて一致する。$f(x) = x\sqrt{x+9}$ は偶関数でも奇関数でもない。惜しい例が示唆に富む。$x\sqrt{x^2+9}$ なら奇関数になる。$x$ を 2 乗すれば、根号の中が符号の変化の影響を受けなくなるからである。