25 人の顧客の年齢の平均が 31.68、標準偏差が 9.694 で、最小の年齢は 11、最大は 47 である。両方を標準化せよ。

Step-by-step solution

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   標準化の式を書く。 $z$ 得点は、ある値が平均から標準偏差いくつぶん離れているかで表したものである。

   $z=\frac{x-\bar x}{s}$

   引き算を先に行わねばならない。引く前に割ってしまうのがよくある取り違えである。

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   最小値を標準化する。

   $z_{\min}=\frac{11-31.68}{9.694}=\frac{-20.68}{9.694}=-2.133$

   負の符号は、最年少の顧客が平均を下回っていることを表す——標準偏差 2 つぶんを少し超えている。

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   最大値を標準化する。

   $z_{\max}=\frac{47-31.68}{9.694}=\frac{15.32}{9.694}=1.580$

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   両方の結果を述べる。

   $\boxed{z_{\min}=-2.133,\qquad z_{\max}=1.580}$

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   2 つを合わせて解釈する。 どちらも絶対値が $3$ 未満なので、よく使われる目安ではどちらの極値も異常な外れ値ではない。しかし両者は目に見えて不揃いである。最小値は平均より標準偏差 $2.13$ ぶん下、最大値は $1.58$ ぶん上でしかないので、低い側の裾がより長く伸びている——年齢の分布が左に歪んでいる証拠である。

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   逆算して計算を確かめる。 $\bar x+z_{\min}s=31.68-2.133(9.694)=31.68-20.68=11.00$ ✓、$31.68+1.580(9.694)=31.68+15.32=47.00$ ✓ となり、もとの年齢が復元される。