25 人の顧客の年齢は 19, 33, 35, 28, 32, 31, 30, 15, 29, 11, 36, 22, 43, 48, 27, 25, 22, 32, 35, 33, 36, 43, 42, 43, 48 である。Tukey の方法で Q1 と Q3 を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   データを並べ替える。 どの四分位数の定義でも、まず昇順に並べたリストから始める。

   $11,15,19,22,22,25,27,28,29,30,31,32,32,33,33,35,35,36,36,42,43,43,43,48,48$

2. 2

   中央値を求める。 $n=25$（奇数）なので中央値は $13^{\text{番目}}$ の値である。

   $\text{中央値}=32$

3. 3

   Tukey 流に半分に分ける。 ここが方法を分ける段階である。Tukey のヒンジは中央値を両方の半分に残すので、各半分は $13$ 個の値をもつ。

   下半分：$11,15,19,22,22,25,27,28,29,30,31,32,32$

   上半分：$32,33,33,35,35,36,36,42,43,43,43,48,48$

4. 4

   各半分の中央値をとる。 どちらの半分も $13$ 個なので、四分位数はそれぞれ $7^{\text{番目}}$ のただ 1 つの値であり、平均をとる必要はない。

   $Q_1=27,\qquad Q_3=36$

   $\boxed{Q_1=27,\quad Q_3=36}$

5. 5

   ソフトウェアがよく使う除外法と比べる。 中央値を両方の半分から除くと各半分は $12$ 個になり、四分位数は 2 つの値の平均になる。

   $Q_1=\frac{25+27}{2}=26,\qquad Q_3=\frac{36+42}{2}=39$

   電卓が $26$ と $39$ を返す一方で Tukey の答えが $27$ と $36$ になるのはこのためである。どちらが誤りというわけではなく、単に流儀の違いであり、試験問題ではどちらを求めているか明示されなければならない。

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   大小関係を確認する。 どちらの方法でも $Q_1<\text{中央値}<Q_3$（$27<32<36$）が成り立つ ✓。また Tukey の四分位範囲 $36-27=9$ は除外法の $39-26=13$ より狭い。中央値を含めることで両方のヒンジが中心寄りになるので、これは予想どおりである。