データの値の z スコアは z = (x − m)/d で与えられる。ここで x は値、m は平均、d は標準偏差である。この公式を m について解け。

Step-by-step solution

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   まず分母を払う。 未知数 $m$ は分数の中に閉じ込められているので、両辺に $d$ を掛ける（標準偏差は正なので、この操作は安全である）：

   $zd=x-m.$

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   m を一方に単独で出す。 両辺に $m$ を足して $zd$ を引く——同じことだが、等号をまたいで $m$ と $zd$ を入れ替えればよい：

   $m=x-zd.$

   こう進めれば、$-m$ を直接動かそうとしたときに生じる符号の取り違えを避けられる。

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   代入し直して式変形を確かめる。

   $\frac{x-m}{d}=\frac{x-(x-zd)}{d}=\frac{zd}{d}=z\ \checkmark$

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   式の意味を読む。 $m=x-zd$ は、平均がその値より標準偏差 $z$ 個ぶん下にあることを述べている。$z>0$ ならその値は平均より上にあるので、$zd$ を引けば平均まで下りる。$z<0$ なら負の数を引くことになるので上がる。符号は自動的に辻褄が合う。

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   数値例で試す。 $x=85$、$z=1.5$、$d=6$ なら $m=85-1.5(6)=85-9=76$ である。逆向きに確かめると $\dfrac{85-76}{6}=\dfrac{9}{6}=1.5$ ✓。