15 名について処置の前後を測定した。前：9.7, 10.8, 16.0, 34.7, 10.9, 45.6, 23.4, 22.9, 17.6, 43.7, 25.4, 17.0, 35.7, 24.7, 36.3。後：7.8, 8.8, 14.8, 33.2, 9.2, 42.5, 21.8, 21.4, 16.4, 41.5, 22.8, 13.0, 37.8, 26.5, 38.2。それぞれの平均と標本標準偏差を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   合計から 2 つの平均を求める。 処置前の値の合計は $374.4$、処置後は $355.7$ なので、$n=15$ として

   $\bar x_{\text{処置前}}=\frac{374.4}{15}=24.96,\qquad \bar x_{\text{処置後}}=\frac{355.7}{15}=23.71\overline{3}$

   となる。印刷された表の訂正： 問題用紙には処置前の平均が $24.99$ と記載されているが、列挙された 15 個の値の平均は $24.96$ である。処置後の平均 $23.71$ のほうは確かに合っている。印刷された合計を信用せず、必ず自分で足し直すこと。

2. 2

   標本（n − 1）の式を選ぶ。 この 15 名はより大きな母集団からの標本なので、偏差の平方和を $n-1=14$ で割る。

   $s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^{2}}{n-1}}$

   代わりに $n$ を使うとばらつきを過小に見積もることになる。この種の表を扱った解答では、繰り返し見つかっている誤りである。

3. 3

   処置前の偏差を積み上げる。 $\bar x=24.96$ とすると、偏差の 2 乗は $(9.7-24.96)^2=232.87$ から $(24.7-24.96)^2=0.0676$ まで、そして $(45.6-24.96)^2=426.01$ まで並ぶ。その合計は

   $\sum(x_i-\bar x)^{2}=1951.816$

   である。

4. 4

   処置前の標準偏差を仕上げる。

   $s_{\text{処置前}}=\sqrt{\frac{1951.816}{14}}=\sqrt{139.4154}=11.807$

5. 5

   処置後のデータで同じことを繰り返す。 $\bar x=23.713$ とすると偏差の 2 乗の合計は $2119.197$ なので

   $s_{\text{処置後}}=\sqrt{\frac{2119.197}{14}}=\sqrt{151.3712}=12.303$

   となる。

6. 6

   結果を述べ、意味を読む。

   $\boxed{\bar x_{\text{処置前}}=24.96,\ s_{\text{処置前}}=11.81;\qquad \bar x_{\text{処置後}}=23.71,\ s_{\text{処置後}}=12.30}$

   平均はおよそ $1.25$ パーセントポイント下がったが、ばらつきはわずかに増えている。つまりこの処置は集団を均一にはしなかった。（参考までに、$15$ で割った母標準偏差なら $11.41$ と $11.89$ になる。）

7. 7

   計算用の公式でも確かめる。 処置前のデータでは $\sum x=374.4$、$\sum x^{2}=11296.84$ なので $\sum x^{2}-\tfrac{(\sum x)^2}{n}=11296.84-9345.024=1951.816$ ——上で求めた偏差の平方和と一致し、平均と平方和の両方が裏づけられる。