袋に 1 から 10 までの番号が付いた同じ形の玉が 10 個入っている。無作為に 3 個取り出して番号を記録する。(1) 最小の番号が 5 である確率、(2) 最大の番号が 5 である確率を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   標本空間を数える。 $\{1,\ldots,10\}$ の $3$ 元部分集合はどれも同様に確からしい。

   $\binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$

2. 2

   「最小が 5」を条件に翻訳する。 これは $5$ が 3 つの番号のうちの 1 つでありかつ残り 2 つがともに $5$ より大きい、ということである。$5$ より大きい番号は $6,7,8,9,10$ の 5 個である。

3. 3

   (1) 数えて割る。

   $\binom{5}{2}=10\quad\Longrightarrow\quad P(\min=5)=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}\approx 0.0833$

4. 4

   「最大が 5」を翻訳する。 今度は $5$ が取り出され、残り 2 つはそれより小さく、$1,2,3,4$ から選ばれなければならない——候補は 4 個しかない。

5. 5

   (2) 数えて割る。

   $\binom{4}{2}=6\quad\Longrightarrow\quad P(\max=5)=\frac{6}{120}=\frac{1}{20}=0.05$

   $\boxed{P(\min=5)=\tfrac{1}{12},\qquad P(\max=5)=\tfrac{1}{20}}$

6. 6

   最小値の分布全体で検算する。 $\min=k$ となる場合の数は $\binom{10-k}{2}$ なので、$k=1,\ldots,8$ にわたって足すと $\binom92+\binom82+\cdots+\binom22=36+28+21+15+10+6+3+1=120$ ✓ となり標本空間と一致する。2 つの答えが非対称なのは当然である。$5$ より上の番号のほうが下の番号より多いので、$5$ は最大になるより最小になるほうが起こりやすい。