3 門の砲が独立に標的を撃ち、命中確率はそれぞれ 0.2、0.3、0.5 である。(1) 少なくとも 1 門が命中する確率、(2) ちょうど 1 門が命中する確率を求めよ。

Step-by-step solution

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   事象とその余事象に名前を付ける。 命中を $A_1,A_2,A_3$ とし、$P(A_1)=0.2$、$P(A_2)=0.3$、$P(A_3)=0.5$ とする。独立とは確率が掛け合わされるということであり、外れる確率は余事象の $0.8$、$0.7$、$0.5$ である。

2. 2

   (1) 3 事象の和ではなく余事象を使う。 3 つの事象への包除原理は 7 項を要するが、余事象なら積 1 つで済む。

   $P(\text{少なくとも 1 門命中})=1-P(\text{3 門とも外れる})=1-(0.8)(0.7)(0.5)$

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   計算する。

   $(0.8)(0.7)(0.5)=0.28\quad\Longrightarrow\quad P=1-0.28=0.72$

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   (2) ちょうど 1 門が命中する排反な 3 通りを列挙する。 ちょうど 1 門の命中とは、1 門が当たり残る 2 門が外れることである。

   $P=\underbrace{(0.2)(0.7)(0.5)}_{\text{1 門目だけ}}+\underbrace{(0.8)(0.3)(0.5)}_{\text{2 門目だけ}}+\underbrace{(0.8)(0.7)(0.5)}_{\text{3 門目だけ}}$

   各項で当該の砲の命中確率が 1 回だけ現れ、他の 2 門は外れる確率として入ることに注意する——取り違えが非常に多いところである。

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   3 項を足す。

   $0.07+0.12+0.28=0.47$

   $\boxed{P(\text{少なくとも 1 門})=0.72,\qquad P(\text{ちょうど 1 門})=0.47}$

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   分布全体で検算する。 命中数が $0,1,2,3$ となる確率はそれぞれ $0.28$、$0.47$、$0.22$、$0.03$ である（2 門命中は $0.2\cdot 0.3\cdot 0.5+0.2\cdot 0.7\cdot 0.5+0.8\cdot 0.3\cdot 0.5=0.03+0.07+0.12=0.22$、3 門命中は $0.2\cdot 0.3\cdot 0.5=0.03$）。総和は $1.00$ ✓ であり、$0.47+0.22+0.03=0.72$ が (1) を再現している。