箱に 15 個の品物があり、そのうち 3 個が不良品、12 個が良品である。無作為に非復元で 5 個取り出すとき、(1) ちょうど 2 個が不良品である確率、(2) 少なくとも 2 個が不良品である確率を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   標本空間を順序なしの選び方として設定する。 $15$ 個から順序を問わず $5$ 個を選ぶ方法は

   $\binom{15}{5}=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{5!}=3003$

   通りあり、どれも同様に確からしい。非復元で引くので、冪ではなく組合せが正しい数え方である。

2. 2

   (1) 都合のよい選び方を数える。 ちょうど 2 個が不良品とは、不良品 $3$ 個のうち $2$ 個と、良品 $12$ 個のうち $3$ 個を選ぶことである。

   $\binom{3}{2}\binom{12}{3}=3\times 220=660$

3. 3

   割って約分する。

   $P(\text{ちょうど }2)=\frac{660}{3003}=\frac{20}{91}\approx 0.2198$

   （どちらの数も $33$ で割り切れる。）

4. 4

   (2)「少なくとも 2 個」の場合を列挙する。 箱には不良品が $3$ 個しかないので、「少なくとも $2$ 個」とはちょうど $2$ 個またはちょうど $3$ 個のことであり、場合は 2 つだけなので余事象は不要である。

   $\binom{3}{3}\binom{12}{2}=1\times 66=66$

5. 5

   互いに排反な 2 つの場合を足す。

   $P(\text{少なくとも }2)=\frac{660+66}{3003}=\frac{726}{3003}=\frac{22}{91}\approx 0.2418$

   $\boxed{P(\text{ちょうど }2)=\tfrac{20}{91},\qquad P(\text{少なくとも }2)=\tfrac{22}{91}}$

6. 6

   分布全体の和が 1 になることを確かめる。 不良品の個数 4 通りに対する数はそれぞれ $\binom{3}{0}\binom{12}{5}=792$、$\binom{3}{1}\binom{12}{4}=1485$、$660$、$66$ である。合計は $792+1485+660+66=3003=\binom{15}{5}$ ✓ となり、上の数え上げがすべて裏づけられる。