60 枚のデッキに印のついたカードが 11 枚ある。初手として 5 枚を引き、中身を見ずに脇へ置く。残り 55 枚から無作為にさらに 3 枚を引く。この 3 枚のうち少なくとも 1 枚に印がついている確率はいくらか。

Step-by-step solution

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   まず初手を片づける——ここがこの問題の核心である。 最初の 5 枚に印つきが何枚入ったかで条件づけたくなる。しかし何も観測されておらず、デッキは一様にシャッフルされているので、引かれた合計 8 枚（5 枚、続いて 3 枚）は単に一様無作為な順序つき 8 枚の標本にすぎない。交換可能性により、6・7・8 番目が特定の 3 枚組になる確率は、1・2・3 番目がそうなる確率と等しい。

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   ただの 3 枚引きに帰着させる。 したがって問いは

   $P(\text{引いた 3 枚のうち少なくとも 1 枚に印がついている、山札の枚数は }60)$

   に変わる。印つきは $11$ 枚、印なしは $60-11=49$ 枚である。

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   余事象を使う。 「少なくとも 1 枚」は重なり合う事象の和なので、代わりに簡単な余事象を 1 つ数える。

   $P(\text{少なくとも 1 枚})=1-P(\text{印つきが 1 枚もない})=1-\frac{\binom{49}{3}}{\binom{60}{3}}$

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   2 つの二項係数を計算する。

   $\binom{49}{3}=\frac{49\cdot 48\cdot 47}{6}=18424,\qquad \binom{60}{3}=\frac{60\cdot 59\cdot 58}{6}=34220$

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   引く。

   $P=1-\frac{18424}{34220}=\frac{34220-18424}{34220}=\frac{15796}{34220}$

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   百分率に直す。

   $\frac{15796}{34220}=0.461601\ldots\approx 46.2\%$

   交換可能性の段階についての検算：答えは初手の枚数にまったく依存しない。最初に $0$ 枚、$5$ 枚、$20$ 枚のいずれを引いてからその後に $3$ 枚引いても、どれも見られていない限り同じ $46.16\%$ になる。