得点 1, 2, 3 からなる標本について、標本平均のまわりの 95 パーセント信頼区間を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず和を計算する。 $n = 3$、$\sum X = 6$、$\sum X^2 = 1 + 4 + 9 = 14$ である。ここから

   $\bar{X} = \frac{6}{3} = 2, \qquad SS = 14 - \frac{6^2}{3} = 14 - 12 = 2$

   が得られる。

2. 2

   $s$ と標準誤差を求める。 $SS$ を $n-1 = 2$ で割る。

   $s^2 = \frac{2}{2} = 1, \quad s = 1, \quad s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0.57735$

   $\sqrt{n}$ で割ることは不可欠である——これを忘れると、下に挙げるいちばん幅の広い誤答になる。

3. 3

   $z$ ではなく $t$ を使い、自由度を正しく取る。 $n = 3$ なので自由度は $df = 2$ であり、両側 $95\%$ の臨界値は

   $t_{0.025,\,2} = 4.3027$

   である。これは $z = 1.96$ よりはるかに大きい。自由度がわずか 2 しかない $t$ 分布は、裾が非常に重いのである。

4. 4

   区間を組み立てる。

   $\bar{X} \pm t\,s_{\bar{X}} = 2 \pm 4.3027 \times 0.57735 = 2 \pm 2.4841$

   $LL = -0.4841, \qquad UL = 4.4841$

   したがって区間はおよそ $-0.48$ から $4.48$ までである。

5. 5

   提示された選択肢と照らし合わせる。 $-2.30$ から $6.30$、$-0.43$ から $3.43$、$1.20$ から $2.80$ のいずれも外れている。とくに $-2.30$ から $6.30$ は $2 \pm 4.3027 \times 1$ であり、同じ $t$ の値を $s_{\bar{X}}$ ではなく $s$ に掛けたもの、つまり $\sqrt{3}$ を忘れた形である。$(-0.48,\ 4.48)$ に一致するものがないので、正解は**「他の選択肢はいずれも正しくない」**である。

6. 6

   幅の意味を解釈する。 平均 $2$ のまわりで、0 を下回るところから $4.5$ 近くまで伸びる区間は、$n = 3$ であることの正直な代償である。観測が 3 つしかなければ、平均の位置を精密に定めることはできない。検算：$4.3027 \times 0.57735 = 2.4841$ であり、$2 - 2.4841 = -0.4841$、$2 + 2.4841 = 4.4841$ ✓ である。