1 月から 12 月までの月々の水道料金が 40, 42, 40, 38, 48, 50, 58, 62, 56, 46, 44, 44 ドルである。シグマ記号を使って、年間の平均、最初の 6 か月の平均、4 月から 11 月までの平均を求めよ。

Step-by-step solution

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   一般の型を書く。 ある区間の項にわたる平均は

   $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=a}^{b} x_i, \qquad n = b - a + 1$

   である。3 つの問いはすべてこの同じ式を使い、変わるのは上端・下端 $a$、$b$、そしてそれに伴う $n$ だけである。項数は必ず上端と下端から計算し直すこと。前の問いの値を使い回してはならない。

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   (a) 年間全体：$i$ は 1 から 12 まで。

   $\bar{x} = \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} x_i = \frac{40+42+40+38+48+50+58+62+56+46+44+44}{12} = \frac{568}{12}$

   $= 47.3333\ldots = \$47.33$

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   (b) 最初の 6 か月：$i$ は 1 から 6 まで。

   $\bar{x} = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6} x_i = \frac{40+42+40+38+48+50}{6} = \frac{258}{6} = 43 = \$43.00$

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   (c) 4 月から 11 月まで：$i$ は 4 から 11 まで。 4 月は $x_4$、11 月は $x_{11}$ なので $n = 11 - 4 + 1 = 8$ である——7 か月ではなく 8 か月である。この項数の 1 つのずれが典型的な誤りである。

   $\bar{x} = \frac{1}{8}\sum_{i=4}^{11} x_i = \frac{38+48+50+58+62+56+46+44}{8} = \frac{402}{8} = 50.25 = \$50.25$

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   3 つの合計を互いに突き合わせる。 最初の 6 か月の合計は $258$、$4$〜$11$ 月の合計は $402$、年間全体は $568$ である。整合性の検査として、$1$〜$3$ 月の合計は $40+42+40 = 122$、$12$ 月は $44$ なので $122 + 402 + 44 = 568$ ✓——3 つのまとまりがちょうど 1 年を分割している。

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   傾向を読み取る。 暑い時期を含む 4〜11 月の平均は \50.25$で、年間の$$47.33$よりも、冬に偏った前半の$$43.00$ よりも明らかに高い。これは 7 月と 8 月に料金がピークを迎える様子と整合する。