15 名の参加者が訓練プログラムの前後で体重を測定した。前 (kg): 55.60, 56.80, 64.80, 100.50, 72.10, 100.40, 73.80, 77.70, 64.00, 108.60, 76.00, 77.00, 84.75, 67.85, 87.24。後 (kg): 54.20, 55.30, 62.10, 100.30, 71.40, 98.70, 71.10, 73.00, 63.10, 104.80, 72.45, 69.00, 88.78, 70.24, 88.57。それぞれの平均と標本標準偏差を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   各列を合計して n = 15 で割る。 2 つの合計は $1167.14$ kg と $1143.04$ kg なので

   $\bar x_{\text{訓練前}}=\frac{1167.14}{15}=77.809\ \text{kg},\qquad \bar x_{\text{訓練後}}=\frac{1143.04}{15}=76.203\ \text{kg}$

   となる。

2. 2

   標本の公式を選ぶ。 この 15 人は標本なので、偏差の平方和は $n-1=14$ で割る。

   $s=\sqrt{\frac{\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}}{n-1}}$

   代わりに $n$ で割るとばらつきを過小評価してしまう——この種の表を扱った報告でもっとも多く見られる誤りである。

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   訓練前の群のばらつきを計算する。 偏差の平方は $(55.60-77.809)^2=493.2$ から $(108.60-77.809)^2=948.1$ までの幅をもち、合計は

   $\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}=3556.77$

   となるので

   $s_{\text{訓練前}}=\sqrt{\frac{3556.77}{14}}=\sqrt{254.055}=15.939\ \text{kg}$

   である。

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   訓練後の群のばらつきを計算する。 こちらは $\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}=3668.24$ なので

   $s_{\text{訓練後}}=\sqrt{\frac{3668.24}{14}}=\sqrt{262.017}=16.187\ \text{kg}$

   となる。

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   4 つの数値をまとめる。

   $\boxed{\text{訓練前: }\bar x=77.81\ \text{kg},\ s=15.94\ \text{kg};\qquad \text{訓練後: }\bar x=76.20\ \text{kg},\ s=16.19\ \text{kg}}$

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   解釈と、この数値では示せないことに注意する。 平均は $1.61$ kg 下がったがばらつきはわずかに増えており、集団がより均一になったわけではない。重要なのは、これらがあくまで記述統計であるという点である。測定は対応がある（同じ人を 2 回測っている）ので、$1.61$ kg の低下が統計的に有意かどうかを判断するには、この 2 つの標準偏差を比べるのではなく、15 個の差に対して対応のある $t$ 検定を行う必要がある。