同じあめ 8 個と同じクッキー 4 枚を 3 人の子（男の子 2 人と女の子 1 人）に配る。(a) どの子も各種類を少なくとも 1 つ受け取る場合、(b) どの子もちょうど 4 個ずつ受け取る場合、(c) 女の子がどちらの男の子よりも多くあめを受け取り、かつ男の子 2 人のクッキーの数が等しい場合、それぞれ何通りあるか。

Step-by-step solution

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   道具を用意する。 同じ品 $n$ 個を区別できる $k$ 人に、各人が少なくとも $1$ つ受け取るように分ける方法は $\binom{n-1}{k-1}$ 通り、0 個を許すなら $\binom{n+k-1}{k-1}$ 通りである。あめとクッキーは独立に配られるので、どの設問でも 2 つの数を掛ける。

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   (a) どの子も各種類を少なくとも 1 つ。 あめは $\binom{8-1}{2}=\binom72=21$ 通り、クッキーは $\binom{4-1}{2}=\binom32=3$ 通り。掛けて

   $21\times 3=63.$

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   (b) どの子もちょうど 4 個。 ここでは 2 つの配り方はもはや独立ではない——クッキーの個数があめの個数を決めてしまう。子 $i$ がクッキーを $k_i$ 枚受け取るならあめは $4-k_i$ 個であり、$\sum k_i=4$ から自動的に $\sum(4-k_i)=12-4=8$ 個のあめが配られる。よって 0 を許したクッキーの分け方だけ数えれば十分である：

   $\binom{4+2}{2}=\binom62=15.$

4. 4

   (c) のクッキー：男の子 2 人が同数。 男の子がそれぞれ $k$ 枚受け取るなら女の子は $4-2k$ 枚となり、$k\in\{0,1,2\}$ が必要——3 通りである。

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   (c) のあめ：女の子が両方の男の子を上回る。 女の子の取り分 $g$ で場合分けする。男の子 2 人の合計は $8-g$ で、どちらも $g$ 未満：

   $g=4:3,\quad g=5:4,\quad g=6:3,\quad g=7:2,\quad g=8:1,$

   であり、$g\le 3$ は不可能である。そのとき男の子 2 人で $\ge 5$ 個必要なのに各自 $3$ 未満だからである。合計 $3+4+3+2+1=13$ 通りのあめの配り方になる。

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   (c) をまとめ、全体を整理する。

   $13\times 3=39.$

   よって 3 つの答えは $\mathbf{63}$、$\mathbf{15}$、$\mathbf{39}$ である。すべての配り方を計算機で直接列挙しても、これらの数がそのまま再現される。