公正なサイコロを 4 回振る。この試行を確率空間で記述し、1 が高々 3 回出る確率を求めよ。

Step-by-step solution

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   確率空間を作る。 1 つの結果は 4 回分の目を順に並べたものなので、標本空間は

   $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^{4},\qquad |\Omega|=6^{4}=1296.$

   である。サイコロは公正で各回は独立なので測度は一様であり、$1296$ 個の結果はどれも確率 $\tfrac{1}{1296}$ をもつ。

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   事象を余事象で書き直す。 4 回のうち $1$ が出た回数を $X$ とする。「高々 3 回」とは $X\in\{0,1,2,3\}$ のことで、場合が 4 つある。その余事象は $X=4$ というただ 1 つの場合である。

   $P(X\le 3)=1-P(X=4).$

   4 項ではなく 1 項だけ計算すればよい——ここで余事象を使う理由はそれに尽きる。

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   余事象に含まれる結果を数える。 $X=4$ とは 4 回すべてが $1$ ということで、これはちょうど $(1,1,1,1)$ の 1 通りである。

   $P(X=4)=\left(\frac{1}{6}\right)^{4}=\frac{1}{1296}.$

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   引く。

   $P(X\le 3)=1-\frac{1}{1296}=\frac{1295}{1296}\approx 0.99923.$

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   答えの大きさが妥当か確かめる。 $1$ が 4 回続けて出るのは非常に起こりにくいので、「高々 3 回」はほぼ確実になるはずであり、$0.99923$ はまさにそうである。別の確認として、二項モデル $X\sim B(4,\tfrac16)$ からは $P(X=4)=\binom{4}{4}\left(\tfrac16\right)^4\left(\tfrac56\right)^0=\tfrac{1}{1296}$ という同じ値が得られる。