公正なサイコロを 8 回振る。この試行を確率空間で記述し、6 が少なくとも 1 回出る確率を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   確率空間を設定する。 1 つの結果は 8 回分の目を順に記録したものなので

   $\Omega=\{1,\ldots,6\}^{8},\qquad |\Omega|=6^{8}=1\,679\,616,$

   であり、サイコロは公正で各回は独立なので一様測度を入れる。

2. 2

   「少なくとも 1 回」を余事象に直す。 6 が 1 回、2 回、…、8 回出る場合を数えると二項の項を 8 つ足し上げることになる。余事象ならただ 1 つの事象である。

   $P(\text{少なくとも 1 回 }6)=1-P(\text{一度も }6\text{ が出ない}).$

   「少なくとも 1 回」はほぼ常に余事象を使えという合図である。

3. 3

   6 が 1 回も出ない確率を計算する。 1 回の投げで $6$ を避ける確率は $\tfrac56$ であり、各回は独立なので、8 回すべてで避ける確率は

   $\left(\frac{5}{6}\right)^{8}=\frac{390\,625}{1\,679\,616}=0.232568.$

   である。

4. 4

   1 から引く。

   $P(\text{少なくとも 1 回 }6)=1-\frac{390\,625}{1\,679\,616}=\frac{1\,288\,991}{1\,679\,616}\approx 0.7674.$

5. 5

   答えが妥当か確かめる。 6 が出る回数の期待値は $8\times\tfrac16=1.33$ なので、少なくとも 1 回出るのはありそうだがほぼ確実というほどではないはずで、$76.7\%$ はそれに合う。これが $8\times\tfrac16=133\%$ ではないことに注意する。重なり合う事象の確率を足してしまうのが典型的な誤りであり、余事象を使う方法はそれを回避する。