N = 8 個の得点からなる標本で ΣX = 48、ΣX² = 351 である。仮説上の平均を 2.00 とするとき、効果量指標 d はいくらか。

Step-by-step solution

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   どの公式が問われているかを見極める。 1 標本デザインにおけるコーエンの $d$ は、平均の差を標本標準偏差で割る：

   $d = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s}$

   一方、$t$ 統計量のほうは標準誤差 $s/\sqrt{N}$ で割る。この 2 つの取り違えがここでの最頻出の誤りで、$N=8$ の場合は答えが $\sqrt{8} \approx 2.83$ 倍に膨らんでしまう。

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   標本平均を求める。

   $\bar{X} = \frac{\sum X}{N} = \frac{48}{8} = 6.00$

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   計算用の公式で平方和を求める。

   $SS = \sum X^2 - \frac{\left(\sum X\right)^2}{N} = 351 - \frac{48^2}{8} = 351 - \frac{2304}{8} = 351 - 288 = 63$

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   標本標準偏差を出す。 標本なので $N-1 = 7$ で割る：

   $s^2 = \frac{SS}{N-1} = \frac{63}{7} = 9, \qquad s = \sqrt{9} = 3$

   数値がきれいに割り切れるのは、$SS$ の段階が正しいことのよい目印である。

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   平均の差を $s$ で割る。

   $d = \frac{6.00 - 2.00}{3} = \frac{4}{3} = 1.3333 \approx 1.33$

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   解釈し、他の候補と突き合わせる。 コーエンの慣例では $d = 0.2$ が小、$0.5$ が中、$0.8$ が大なので、$1.33$ は大きな効果である。撹乱の値 $3.77$ と照合してみると、これは $t = \dfrac{4}{3/\sqrt{8}} = \dfrac{4}{1.06066} = 3.7712$、つまり効果量ではなく $t$ 統計量である。また $1.4254$ は、母集団流の $\sqrt{63/8} = 2.80624$ で割った場合、すなわち $N-1$ ではなく $N$ を使った場合に出る値である。