N = 8 の標本で sum X = 48、sum X^2 = 351 である。仮説平均 9.00 に対して検定すると t の値はいくらか。

Step-by-step solution

1. 1

   1 標本 $t$ の公式を書く。

   $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{N}}$

   必要なものはすべて $N$、$\sum X$、$\sum X^2$ から復元できる——生の得点は一切必要ない。

2. 2

   平均と偏差平方和を求める。

   $\bar{X} = \frac{48}{8} = 6.00, \qquad SS = \sum X^2 - \frac{\left(\sum X\right)^2}{N} = 351 - \frac{2304}{8} = 63$

3. 3

   標準偏差と標準誤差を求める。 分母に $N-1 = 7$ を使う。

   $s^2 = \frac{63}{7} = 9, \quad s = 3, \quad s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{N}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2.828427} = 1.060660$

4. 4

   符号を保ったまま $t$ を計算する。 標本平均 $6$ は仮説値 $9$ より下なので、$t$ は負になるはずである——ここで正の値が出たら符号を落としている合図である。

   $t = \frac{6.00 - 9.00}{1.060660} = \frac{-3}{1.060660} = -2.8284 \approx -2.83$

5. 5

   ありがちな誤答と照合する。 $-8.00$ は平均差を $s^2/\ldots$ の形で割ってしまう取り違えから出る。$-2.65$ になるには $s_{\bar X} = 1.132$ が必要である。$3.02$ は符号も大きさも違う。厳密な値にも注目したい。$\dfrac{3}{3/\sqrt{8}} = \sqrt{8} = 2.8284$ なので、$t = -\sqrt{8}$ ちょうどである。

6. 6

   解釈する。 $df = N - 1 = 7$ のとき、$\alpha = 0.05$ の両側臨界値は $2.365$ である。$|-2.83| > 2.365$ なので、標本平均 $6.00$ は $5\%$ 水準で $9.00$ と有意に異なる。