男性の 5%、女性の 0.25% が色覚異常であり、男女はそれぞれ人口の半分を占める。無作為に 1 人選ぶ。(1) その人が色覚異常である確率はいくらか。(2) 色覚異常であると分かったとき、その人が男性である確率はいくらか。

Step-by-step solution

1. 1

   記号と与えられた確率を整理する。 $M$ を男性、$W$ を女性、$B$ を色覚異常とする。与えられているのは

   $P(M)=P(W)=0.5,\qquad P(B\mid M)=0.05,\qquad P(B\mid W)=0.0025$

   である。$0.25\%=0.0025$ であって $0.025$ ではないことに注意したい——ここで 10 倍ずれると、どちらの答えも変わってしまう。

2. 2

   (1) 全確率の定理を使う。 $M$ と $W$ は集団を分割するので

   $P(B)=P(M)P(B\mid M)+P(W)P(B\mid W)$

   が成り立つ。

3. 3

   (1) を計算する。

   $P(B)=0.5(0.05)+0.5(0.0025)=0.025+0.00125=0.02625$

   つまり集団のおよそ $2.6\%$ が色覚異常である——男性の割合 $5\%$ と女性の割合 $0.25\%$ の間にあり、妥当である。

4. 4

   (2) ベイズの定理を使う。 問われているのは条件の向きを逆にした確率である：

   $P(M\mid B)=\frac{P(M)P(B\mid M)}{P(B)}=\frac{0.025}{0.02625}$

5. 5

   (2) を計算する。 分子と分母に $10000$ を掛けて約分すると

   $\frac{250}{262.5}=\frac{2000}{2100}=\frac{20}{21}\approx 0.9524$

   $\boxed{P(B)=0.02625,\qquad P(M\mid B)=\tfrac{20}{21}\approx 0.952}$

6. 6

   向きの逆転を確かめる。 集団の半分しか男性でないのに、色覚異常の人の $95\%$ が男性になる——男性の割合が女性の $20$ 倍だからである。補集合でも確認できる：$P(W\mid B)=\tfrac{0.00125}{0.02625}=\tfrac{1}{21}$ であり、$\tfrac{20}{21}+\tfrac{1}{21}=1$ ✓ となる。