2 種類の炭素繊維積層板が、同じ繊維（E11 = 132.4 GPa）で作られている。積層板 1 は 8 層で積層構成 0/-45/+45/0/0/+45/-45/0、積層板 2 は 10 層で積層構成 +45/-45/+45/-45/0/0/-45/+45/-45/+45 である。ハートスミスの 10 パーセント則を用いて、積層板 1 の剛性が積層板 2 をどれだけ上回るかを求めよ。

Step-by-step solution

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   規則を述べ、軸外層の寄与を一度だけ計算する。 ハートスミスの $10\%$ 則では、$0^\circ$ 層はその $E_{11}$ をまるごと寄与し、軸外の層はその $10\%$ を寄与する。どちらの積層板も同じ繊維を使っているので

   $0.10E_{11}=0.10\times 132.4=13.24\ \text{GPa}$

   が軸外層 1 枚あたりの寄与となり、これは両方の積層板に共通である。

2. 2

   積層板 1 の層を数える。 構成 $0/-45/+45/0/0/+45/-45/0$ は $8$ 層で、$0^\circ$ にあたるのは第 $1,4,5,8$ 層——すなわち軸方向が $4$ 枚、軸外が $4$ 枚である。

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   積層板 1 の 8 層で平均する。

   $E_{1}=\frac{4(132.4)+4(13.24)}{8}=\frac{529.6+52.96}{8}=\frac{582.56}{8}=72.82\ \text{GPa}.$

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   積層板 2 でも数えて平均する。 構成 $+45/-45/+45/-45/0/0/-45/+45/-45/+45$ は $10$ 層で、$0^\circ$ なのは第 $5$ 層と第 $6$ 層だけ——すなわち軸方向が $2$ 枚、軸外が $8$ 枚である。

   $E_{2}=\frac{2(132.4)+8(13.24)}{10}=\frac{264.8+105.92}{10}=\frac{370.72}{10}=37.072\ \text{GPa}.$

5. 5

   引き算する。

   $E_{1}-E_{2}=72.82-37.072=35.748\approx 35.75\ \text{GPa}.$

   ここでは $37.072$ を丸めずに持ち越すことが効いてくる。各積層板を先に $72.82$ と $37.07$ に丸めても今回は $35.75$ になるが、数値によってはその近道が小数第 2 位を動かしてしまう。

6. 6

   設計上の教訓を読み取る。 積層板 2 は層数が多いのに剛性はかろうじて半分程度しかない。この規則が捉えているのは荷重方向にそろった層の割合——$50\%$ 対 $20\%$ ——だからである。軸外層を増やしても、厚さと重さが増えるだけで、荷重方向の剛性には 10 分の 1 しか寄与しない。